调和平均数

调和平均（Harmonic Mean）= n ÷ Σ(1/xᵢ)，即"倒数的算术平均的倒数"。它是速率类数据的正确平均：往返各 60 公里，去程 60 km/h 用 1 小时，回程 40 km/h 用 1.5 小时，全程 120 公里用 2.5 小时，平均速度 = 48 km/h——正是调和平均 2 ÷ (1/60 + 1/40)。

为什么不能算术平均（60+40)÷2 = 50：速度是"每小时的公里数"，等距离场景下慢速段占用更多时间，权重自然更大。调和平均自动实现了这个加权——它本质是"总量 ÷ 总消耗"的另一种写法，所有"每单位 X 的 Y"型数据（速度、密度、单价）求平均都该用它。

金融里的经典应用是定投的成本计算：每月固定 1000 元买入，价格 10 元买 100 股、5 元买 200 股，平均成本 = 总金额 ÷ 总股数 = 2000 ÷ 300 = 6.67 元——恰是价格的调和平均，低于算术平均的 7.5 元。这就是"定投摊低成本"的数学原理：低价时自动买更多份额。

调和平均是「速率问题的正确答案」：当总量（距离、工作量）固定而速率变化时，真实平均速率由总路程除以总时间决定——慢速段消耗的时间多，权重自然大，调和平均自动实现这种加权。它对极小值极其敏感：一个 10 就能把 100、100、100 的调和平均拖到 36——这正是「木桶效应」的数学化身，最慢环节决定整体效率。

金融与工程中调和平均有两处高光应用：① 平均成本法（定投）——每月固定金额买入，股价低时买得多，持仓平均成本 = 调和平均，永远低于算术均价，这是定投摊薄成本的数学原理；② 市盈率组合——组合整体市盈率是各股市盈率的调和平均（按市值加权），直接算数平均会高估。并联电阻、F1 分数（精确率与召回率的调和）、燃油经济性（MPG 的「每加仑英里数」平均）也都是调和平均的地盘。