定比分点计算器

定比分点公式：点 P 把 A(x₁,y₁)B(x₂,y₂) 分成 AP:PB=m:n，则 P=((nx₁+mx₂)/(m+n), (ny₁+my₂)/(m+n))。注意权重交叉——靠近 B 的比例 m 乘的是 B 的坐标。

外分时把比例取负（m:n 中一正一负），分点落在延长线上。该公式是质点系质心公式的几何形式，也是计算机图形学线性插值（lerp）的理论原型：t=m/(m+n) 时 P=(1−t)A+tB。

定比分点公式求线段上按比例分割的点：P 把 AB 分成 AP:PB = m:n，则 P 的坐标 = ((n·x₁ + m·x₂)/(m+n), (n·y₁ + m·y₂)/(m+n))。注意权重是交叉的——靠近 A 的权重 n 来自 B 侧的比例，反之亦然。这是加权平均，权重与距离成反比。

交叉权重的原因用物理直觉最清楚：定比分点就是把质量 m 放在 B、质量 n 放在 A 时系统的质心。比例 m:n 越大，P 越靠近 A——正如重的一头离质心更近。中点公式（m = n 时）是最简单的特例：两坐标分别取平均。

定比分点与计算机图形学的线性插值（lerp）是同一概念：lerp(t) = (1−t)·A + t·B，令 t = m/(m+n) 即得定比分点。贝塞尔曲线、动画补间、颜色渐变、字体可变字重，底层全部是这一个公式。

外分点同样由公式给出，只需把 n 取负：P 在 AB 延长线上且 AP:PB = m:n（m > n），坐标 = ((−n·x₁ + m·x₂)/(m−n), ...)。内外分点对应阿波罗尼斯圆上的两个特殊位置，在几何题中常联手出现。

三角形重心坐标（barycentric coordinates）是定比分点的自然推广：三角形内任意点可写成三个顶点的加权平均，权重之和为 1，三个权重就是三个小三角形的面积比。这套坐标在有限元分析、3D 渲染的纹理插值中是标准工具。