弓形

弓形（圆缺）是圆被一条弦切下的部分：面积 = 扇形面积 − 三角形面积 = ½r²(θ − sinθ)（θ 用弧度）。「先扇后三角」是推导与记忆的关键——扇形多算了一个等腰三角形，减掉即可。

矢高（弓形高度）h = r − r·cos(θ/2) 是拱形结构的关键参数：矢跨比（矢高÷弦长）决定拱的「陡峭」程度，赵州桥的低矢跨比（约 1/5）让它在 1400 年前就实现了大跨度与平缓坡度的兼得。

弓形（圆缺）是圆被一条弦切出的部分，两个参数即可完全描述：半径 r 与圆心角 θ。面积公式 S = r²(θ−sinθ)÷2 的结构非常直白——扇形减去等腰三角形。θ 必须用弧度代入；大于 180° 的「优弓形」也适用，sinθ 自动变负修正。工程中更常见的输入是弦长 c 与矢高 h，先求半径 r = (c²÷4+h²)÷(2h)，再求圆心角，是现场反算的标准路径。

矢高（sagitta）是弓形最有工程味道的参数：弦中点到弧的垂距。矢跨比（矢高÷弦长）决定拱的性格——罗马半圆拱 1:2，赵州桥约 1:5.2，现代大跨拱桥 1:4 到 1:8。矢跨比越小拱越平、推力越大，对桥台要求越高；这个比值也是判断「这段弧能不能近似成抛物线」的依据（矢跨比小于 1:8 时差异肉眼难辨）。

卧式圆罐的油量标定是弓形最经典的工业应用：油截面就是弓形，液位计只给液深 h，油量 = 弓形面积×罐长。关键陷阱是「液深比例 ≠ 油量比例」——液深 25% 时油量仅约 19.6%，液深 75% 时已达 80.4%。加油站地下罐的容积表按弓形公式逐毫米生成，手算时代加油员人手一册。

弓形与 扇形计算器 互为加减关系：弓形 + 三角形 = 扇形，扇形 − 弓形 = 三角形。圆心角、弦长、矢高、弧长四个量的互算都绕着这个三角形转——它的两边是半径、夹角是圆心角。把这条辅助三角形画出来，弓形问题就退化为普通三角函数题。

测量实务：量弓形工件优先量弦长和矢高——两件都是直线量，卷尺卡尺即可；然后 r = (c²÷4+h²)÷(2h) 反算半径，θ = 2×arcsin(c÷2r) 反算圆心角。这套「无圆心测量法」对弯桥翼缘、拱顶、大半径圆角都适用，误差主要来自矢高的垂直度——用直角尺贴弦找中点能把误差压到 1% 以内。