扇形

扇形是圆被两条半径切出的「披萨」：面积 = (θ/360)×πr²，弧长 = (θ/360)×2πr——都是整圆按圆心角比例取一份。角度制与弧度制的转换桥梁：θ° = θ(rad)×180/π。

扇形周长 = 弧长 + 2r（别忘了两条半径！），弦长 = 2r·sin(θ/2)。60° 扇形的弦长恰好等于半径——这是正六边形可被 6 个等边三角形填满的原因。

扇形是「按比例切开的圆」：圆心角 θ 决定份额，半径 r 决定大小，两个参数生成一切。核心公式只有两条——面积 = θ÷360×πr²（角度制）或 r²θ÷2（弧度制），弧长 = θ÷360×2πr 或 rθ；其余量（弦长、周长、重心）都是它们的组合。理解弧长与面积的正比关系后，「先求弧长再乘半径除二」往往是最快的口算路径。

扇形与弓形是一对互补概念：弓形 = 扇形 − 等腰三角形，S弓 = r²(θ−sinθ)÷2。圆心角小于 180° 时弓形是弦外的小块，大于 180° 时是「优弓形」，sinθ 自动变负修正符号。卧式油罐按液位算油量、拱桥截面、月牙面积，都是这组换算的直接应用，详见 弓形计算器。

扇形最实用的工业身份是「圆锥的侧面展开图」：展开扇形的半径 = 圆锥母线 l，弧长 = 底圆周长 2πr，所以圆心角 = r÷l×360°。斗笠、漏斗、喇叭、路锥套的下料全部按此计算——圆锥计算器 给的展开角度与本工具互为正反面。反过来，已知扇形也能反推它能卷成什么锥体。

数据可视化里的扇形统计图（饼图）利用了「面积按角度线性分配」的性质：每类占比直接映射为圆心角。但人眼辨角能力弱于辨长，分类超过 7 个时相邻扇区难以比较，小于 5% 的扇区几乎不可见——所以饼图规范建议 5-7 类、小类合并「其他」，更多分类改用条形图。

测量扇形工件的难点在圆心角：直接量角误差大，工程上改用「弦长+半径」反算：θ = 2×arcsin(c÷2r)，或用弧长除以半径（弧度制）。卷尺贴弧量弧长时保持贴合不悬空，误差可压到 1% 以内；大半径构件（如弯桥翼缘）则用全站仪三点定圆再算圆心角。