索菲·热尔曼素数与安全素数
当 p 与 2p+1 都是素数时，p 称为索菲·热尔曼素数，2p+1 称为安全素数。热尔曼借此在 18 世纪末对费马大定理的第一情形取得突破。
什么是索菲·热尔曼素数计算器？
热尔曼素数 p 满足 2p+1 也是素数：2、3、5、11、23、29、41、53、83、89……
对应的安全素数 q = 2p+1 使乘法群难以被小阶子群分解，是密钥协商的安全屏障。
热尔曼证明：若 x² + y^(2n) = z² 中 2n 与 2·(2n)+1 均为热尔曼结构，则第一情形无解。
p 素数且 2p + 1 素数（p 为热尔曼素数，2p + 1 为安全素数）
BigInt 试除素性检验，建议输入不超过 10^14。
如何使用索菲·热尔曼素数计算器
- 1
输入正整数 p。
- 2
点击计算分别检验 p 与 2p+1 的素性。
- 3
查看判定与安全素数配对结果。
- 4
阅读历史与密码学注记理解其价值。
计算示例
例 189 是热尔曼素数
89 为素数，2×89+1 = 179 也是素数，判定成立；对应安全素数 179。
例 223 的双重身份
23 与 47 均为素数，23 是热尔曼素数；而 47 不是（2×47+1 = 95 = 5×19）。
注意事项
热尔曼素数密度近似 C·x/(ln x)²，比孪生素数猜想略乐观。
安全素数 p = 2q+1 中 q 本身是热尔曼素数，两个称谓互为镜像。
Diffie-Hellman 标准群（如 RFC 3526 的 2048 位模数）均取安全素数模。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-09
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引用本页
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Calcton. 索菲·热尔曼素数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/sophie-germain, 2026-09-09.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-09。
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