在线幂和公式计算器

1+2+…+n = n(n+1)/2 是最著名的求和公式，相传高斯小学时就发现了首尾配对的算法。在此基础上还有平方和 n(n+1)(2n+1)/6、立方和 [n(n+1)/2]² 等经典结果。

这些公式都可以用数学归纳法或扰动法严格证明。立方和公式有个优雅的副产品：1³+2³+…+n³ 恰好等于 (1+2+…+n)²。工具覆盖五类常见求和，直接代入公式计算，支持千万级项数。

高斯配对法是求和思维的起点：1+2+…+100 中，首末配对（1+100、2+99、…、50+51）每对都是 101，共 50 对，得 5050。这个「倒序相加」技巧不仅给出 ∑k 的公式，其思想（对称性消元）还贯穿等差数列求和、积分中值定理乃至傅里叶分析。据传高斯在小学课堂上秒答此题，故事真伪已不可考，但配对思想千真万确。

平方和公式 n(n+1)(2n+1)/6 的几何意义是一座「阶梯金字塔」的体积：第 k 层是 k×k 的正方形。三个这样的金字塔可以拼成一个 n×(n+1)×(2n+1) 的长方体（差一个因子 1/6），这就是公式的无字证明之一。它在物理中频繁现身：转动惯量、均方根值、离散均匀分布的方差 σ² = (n²−1)/12 都由它推出。

立方和的尼科马库斯定理 1³+2³+…+n³ = (1+2+…+n)² 是最令人意外的恒等式之一：左边是三维体积之和，右边却是一维和的平方。几何证明把边长为 k 的立方体排成螺线，恰好铺满一个边长为 n(n+1)/2 的正方形。这个等式也说明：求和公式之间存在深层网络——幂和多项式（福尔哈伯公式）的系数由伯努利数统一生成。