威佐夫博弈计算器
两堆石子，每次要么从一堆取任意颗、要么从两堆取相同颗数，取到最后一颗者胜。1907 年 Wythoff 给出优美的黄金比解。
两堆石子，每次可从一堆取任意颗或从两堆取相同颗数，取到最后一颗者胜。Wythoff 定理用黄金比 Beatty 序列刻画全部必败局面。
什么是威佐夫博弈计算器？
威佐夫博弈是尼姆博弈的黄金比变体：多出的「两堆同取」规则让必败局面从「异或为零」变成一对对 Beatty 序列：(1,2), (3,5), (4,7), (6,10), (8,13)…每个非负整数恰好出现在一个冷局中——这正是 Rayleigh-Beatty 定理：φ 与 φ² 的 Beatty 序列完美分割正整数。
冷局坐标之差 d 决定其位置：⌊dφ⌋ 为较小数。
第 k 个冷局：(⌊kφ⌋, ⌊kφ⌋ + k)，φ = (1+√5)/2
判定：局面 (a, b)（a ≤ b）为 P 局面 ⟺ a = ⌊(b−a)·φ⌋。冷局两数之差 d 唯一确定该冷局。
如何使用威佐夫博弈计算器
- 1
输入两堆石子数 m、n（顺序不限，工具自动整理 a ≤ b）。
- 2
点击计算，判定冷局（先手必败）或热局（先手必胜）。
- 3
若为热局，工具枚举全部单取/同取走法，找到一步到达的冷局。
- 4
观察 P 局面通式：差值 d 的冷局较小数就是 ⌊dφ⌋。
计算示例
例 1(3, 5) 是冷局
d = 2，⌊2φ⌋ = ⌊3.236⌋ = 3 = a ✓。先手无论怎么取都进入热局，后手总能还原。这是第 2 个冷局（k = 2）。
例 2(4, 7) 与黄金比
d = 3，⌊3φ⌋ = ⌊4.854⌋ = 4 ✓。冷局序列 (1,2), (3,5), (4,7), (6,10), (8,13)…较小数正是 φ 的下 Beatty 序列。
注意事项
「同时取相同颗数」是不对称规则的来源：它使简单的镜像策略失效，必须引入 φ 的无理性。
φ² = φ + 1 使得 ⌊φ⌋ 序列与 ⌊φ²⌋ 序列恰好互补覆盖所有正整数（Rayleigh 定理）。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-14
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GB/T 7714 格式
Calcton. 威佐夫博弈计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/wythoff-game, 2026-09-14.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-14。
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