杨不等式计算器

什么是杨不等式计算器？

杨不等式的几何图像是什么：在 xy 平面画曲线 y = x^{p−1}（即 x = y^q），矩形 ab 与曲线下方两块面积 xᵖ/p、y^q/q 相互交错——矩形永远盖不满两块面积之和，这就是 ab ≤ aᵖ/p + b^q/q。

取等何时发生：恰好 aᵖ = b^q（矩形顶点落在曲线上，两块面积刚好夹住矩形）时取等。给定 b，最优的 a 是 b^{q/p}。

p=q=2 的特例熟悉吗：ab ≤ (a²+b²)/2，两边乘 2 即 a²+b² ≥ 2ab——中学的完全平方公式 (a−b)² ≥ 0。杨不等式是它在任意共轭指数下的推广。

它为什么重要：赫尔德不等式的标准证明第一步就是逐项套杨不等式；PDE 里的索伯列夫嵌入、调和分析的插值定理也全部以它为基础估计。

如何使用杨不等式计算器

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   输入正数 a 与 b。

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   输入指数 p（>1），共轭 q = p/(p−1) 自动算出。

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   点击「计算」，比较左侧 ab 与右侧 aᵖ/p + b^q/q。

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   查看给出的最优配对 a* = b^{q/p}：换成它即取等。

计算示例

注意事项

• a、b 必须严格为正：零或负数时几何图像失去意义（代数上 0 ≤ aᵖ/p + b^q/q 仍真但平凡）。

• p 必须 > 1：p=1 时 q 无穷大，公式退化。

• 缺口随 a 偏离最优配对而增大，呈 (a−a*)² 量级的二次增长。

• 加权版本 aᵖ/(εᵖp) + (εb)^q/q ≤ ab·ε^0? 慎用：实际常用的是带 ε 的 aᵖ/(pεᵖ) + ε^q b^q/q ≥ ab。

常见问题

参考资料

1. [1]NIST DLMF：数学函数与公式权威参考
2. [2]Wolfram MathWorld：数学条目百科