Z 变换与收敛域
Z 变换是离散信号的「拉普拉斯变换」：把序列 {xₖ} 变成 X(z) = Σxₖz⁻ᵏ。输入序列类型与参数，得到闭式表达式、收敛域与极点位置——差分方程求解与数字滤波器设计的起点。
Z 变换把差分方程变成代数方程：X(z) = Σxₖz⁻ᵏ。选择序列类型查看闭式、收敛域与极点——极点全部位于单位圆内是 BIBO 稳定的充要条件。
什么是Z 变换计算器？
Z 变换把差分方程变成代数方程——正如拉普拉斯变换之于微分方程。
离散序列 xₖ（k = 0,1,2…）映射为复变量 z 的幂级数 X(z)。
最重要的单条性质是位移定理：Z{xₖ₋₁} = z⁻¹X(z) + x₋₁，二阶差分方程由此变成二次代数方程，特征根即极点，系统稳定性等价于极点在单位圆内。
X(z) = Σₖ₌₀^∞ xₖ·z⁻ᵏ，几何序列 aᵏ 的 Z 变换 = z/(z − a)（|z| > |a|）
收敛域 ROC 由 |z| 大于最大极点模长决定；单边变换的初值定理 x₀ = lim(z→∞) X(z)。
如何使用Z 变换计算器
- 1
选择序列类型：几何 aᵏ、单位脉冲 δ、阶跃 u、幂次 k·aᵏ、正弦 cos(ωk)
- 2
输入参数（a 或 ω）
- 3
点击计算，得到 X(z) 闭式、收敛域与极点
- 4
用初值/终值定理快速验证：x₀ = lim(z→∞)X(z)，稳态 = lim(z→1)(z−1)X(z)
计算示例
例 1几何序列 0.5ᵏ
xₖ = 0.5ᵏ X(z) = Σ0.5ᵏz⁻ᵏ = 1/(1 − 0.5z⁻¹) = z/(z − 0.5) ROC：|z| > 0.5，极点 z = 0.5
例 2单位阶跃 uₖ
xₖ = 1（k ≥ 0） X(z) = Σz⁻ᵏ = z/(z − 1)，ROC |z| > 1 极点 z = 1 在单位圆上
注意事项
双边与单边 Z 变换不同：双边对 k ∈ (−∞,∞)，因果序列才常用单边；同一 X(z) 可对应多个序列（ROC 区分）
ROC 不含极点，且对因果序列是「最外极点之外」——判断稳定性只看极点是否全在单位圆内
逆变换三种方法：长除法（幂级数）、部分分式（查表）、留数法（围线积分），工程上常用前两种
z = e^(sT) 把拉普拉斯与 Z 变换联系起来：s 左半平面映射到单位圆内（双线性变换是其数值稳定版）
终值定理只在极点位于单位圆内（除 z = 1 处单极点）时可用，否则给出错误「稳态」
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-13
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. Z 变换计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/z-transform, 2026-09-13.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-13。
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