反正切级数计算器
arctan(1) = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + …，莱布尼茨级数每 100 项才前进 2 位——太慢。换成 arctan(1/5)，每 20 项赚 14 位；再配一个 1/239，π 的计算史上最优雅的加速就此完成。
什么是反正切级数计算器？
反正切级数是什么？arctan x = x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7 + …，对 |x| ≤ 1 收敛（x=1 时是莱布尼茨公式）。它是最古老、最直观的 π 计算武器——现代计算机时代的祖先们靠它手推了几百年。
收敛为什么慢？x=1 时每项只衰减 1/(2k+1)——100 项才到 1/201 ≈ 0.005 精度。换 x=1/5：每项衰减 25 倍，20 项就有 0.2⁴¹/41 ≈ 10⁻²⁹ 精度——x 越小收敛越快，这是所有加速法的出发点。
Machin 公式好在哪？π/4 = 4·arctan(1/5) − arctan(1/239)：两个小参数级数组合，1/5 每项降 25 倍、1/239 每项降 57121 倍——1706 年 Machin 用它手算 π 到 100 位，方法至今仍是数字竞赛主流。
误差界怎么估？交错级数取 N 项后，误差小于第一个丢弃项的绝对值：|R_N| < x^{2N+1}/(2N+1)——莱布尼茨审敛的直接红利，无需复杂余项分析。
arctan x = Σ_{k=0}^{∞} (−1)^k · x^{2k+1}/(2k+1)，x ∈ (−1, 1]；截断误差 < x^{2N+1}/(2N+1)
莱布尼茨公式是 x=1 特例；Machin：π/4 = 4·arctan(1/5) − arctan(1/239)
如何使用反正切级数计算器
- 1
输入 x（0–1）与项数 N（1–100000）。
- 2
点击「计算」，逐项求和并显示理论误差界。
- 3
查看与 Math.atan 的实际偏差对照。
- 4
勾选 Machin 模式：4·arctan(1/5) − arctan(1/239) 对照 π/4。
计算示例
例 1例：x=1, N=100
莱布尼茨级数取 100 项：和 ≈ 0.782895…，与 π/4 = 0.785398… 偏差约 0.0025 < 1/201 = 0.00498 ✓ 理论界成立。Machin 组合（N=20）误差 < 10⁻¹⁰——快了几个数量级。
注意事项
x=1 是收敛半径边界：级数仍收敛但极慢；x > 1 直接发散（arctan x 需换 arctan(1/x) = π/2 − arctan x）。
N=100000 时累乘 x^{2k+1} 用增量式（每项乘 x²）避免 Math.pow 重复计算。
x=1/239 的第 2 项就衰减 57121 倍——Machin 公式的第二支几乎「免费」。
交错级数的误差界只在「项绝对值单调递减」时成立——x ∈ (0,1] 恒满足，无需担心。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-20
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最后更新：2026-09-20。
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