算术导数 n′
输入正整数 n，工具用标准分解公式 n′ = n·Σ(eᵢ/pᵢ) 计算算术导数并验证乘法法则。
什么是算术导数计算器？
算术导数由 E. J. Barbeau 1961 年系统化：给每个素数赋导数 1，再强制乘法法则 (ab)′ = a′b + ab′。它模仿普通微积分：12 = 2²·3 的导数 16，60 的导数 92。加法法则不成立（这是与普通导数的本质区别），但乘法法则让分解式自动求导。
p′ = 1（素数）；(ab)′ = a′b + ab′；等价闭式 n′ = n·Σᵢ eᵢ/pᵢ
n′ = 0 当且仅当 n 是 1 或素数幂？——恰为 n = 1 或 n = p^k 型？准确说 n′ = n·Σeᵢ/pᵢ，仅在 n = p^k 且 p | k·p^(k−1) 时特殊。
如何使用算术导数计算器
- 1
输入 n（1 ≤ n ≤ 10¹²），点击计算。
- 2
工具输出标准分解、各素因子贡献、n′，并用一个非平凡分解 d·(n/d) 验证乘法法则。
计算示例
例 112′ = 16
12 = 2²·3：n·(2/2 + 1/3) = 12·4/3 = 16；验证 (4·3)′ = 4′·3 + 4·3′ = 4·3 + 4·1 = 16 ✓。
例 2素数与幂
5′ = 1（素数）；8′ = 8·(3/2) = 12；1′ = 0。
注意事项
n′ = n·Σeᵢ/pᵢ 恒为整数（每项 eᵢ·n/pᵢ 可整除）。
算术导数可用于构造「部分合成数」判定与 Goldbach 型猜想的类比研究。
n = p^k（素数幂）时 n′ = k·p^(k−1)——与普通幂函数求导形式完全一致。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-17
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引用本页
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Calcton. 算术导数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/arithmetic-derivative, 2026-09-17.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-17。
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