刘维尔函数 λ(n)
输入 n，工具分解质因数得 Ω(n)（按重数计），给出 λ(n)=(−1)^Ω(n) 与区间累加和 L(n)=Σλ(k)。
什么是刘维尔函数计算器？
刘维尔函数只问一件事：n 的质因子（按重数）总个数是奇还是偶。偶数得 +1，奇数得 −1。它是完全乘性的，且有一个漂亮的恒等式：λ 的约数和 Σ_{d|n} λ(d) 当且仅当 n 是完全平方数时等于 1，否则为 0——λ 是「平方指示器」的卷积逆。刘维尔 1849 年曾猜想 L(n)=Σλ(k) 恒非正，1906 年被哈代证伪，第一个反例高达 n=906150257。
λ(n) = (−1)^Ω(n)，Ω(n) 为质因子总个数（按重数）
完全乘性：λ(mn)=λ(m)λ(n)。Σλ(d) 在 n 为完全平方数时为 1，否则为 0。
如何使用刘维尔函数计算器
- 1
输入 n（≤ 10⁹），工具试除分解得 Ω(n) 与 λ(n)；
- 2
并可展示区间 [1,n] 的累加和 L(n) 与平方指示器验证。
计算示例
例 1例：λ(12)
12=2²·3，Ω=3 为奇，λ(12)=−1。
例 2例：平方恒等式
n=36：约数 λ 和 = Σλ(d)=1（36 是完全平方）；n=30：λ(1)λ(2)λ(3)λ(5)λ(6)λ(10)λ(15)λ(30)=1−1−1−1+1+1+1−1=0。
注意事项
Ω(n) 按重数计数：Ω(8)=3（2·2·2），λ(8)=−1；而 ω(8)=1（不同因子数）。
λ(n)=1 的数是「偶个素因子」数（含 1），密度 1/2 但偏置极小。
L(n) 的增长与素数定理等价，与 M(n) 平行而更平缓。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-15
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Calcton. 刘维尔函数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/liouville-function, 2026-09-15.
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最后更新：2026-09-15。
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