默滕斯函数 M(n)
输入 n，工具逐点累加默比乌斯函数 μ(k) 得到 M(n)，展示部分和序列与区间内绝对值峰值。
什么是默滕斯函数计算器？
默滕斯函数把默比乌斯函数累加：M(n)=μ(1)+μ(2)+…+μ(n)。它在素数定理的误差项中扮演主角——M(n)=o(n) 恰好等价于素数定理。1885 年默滕斯猜测 |M(n)|<√n 对所有 n 成立，该猜想若真可推出黎曼猜想，但 1985 年被 Odlyzko 与 te Riele 证伪。如今 M(n) 仍是解析数论测试计算的标尺。
M(n) = Σ_{k=1}^{n} μ(k)
μ(k)：无平方因子且偶数个素因子时 +1，奇数个时 −1，有平方因子时 0。M(n)=0 是黎曼猜想的等价形式（强于 RH）。
如何使用默滕斯函数计算器
- 1
输入 n（≤ 10⁷），工具用线性筛求 μ 前缀和。
- 2
输出 M(n)、部分和序列、区间 |M| 峰值。
计算示例
例 1例：M(10)
μ 值：1,−1,−1,0,−1,1,−1,0,0,1，累加得 M(10)=−1。
例 2例：峰值行为
M 在小范围内摆动：M(1)=1，M(2)=0，M(3)=−1，M(100)=1。|M|/√n 的上确界增长极慢，正因为如此默滕斯猜想「看起来」对了几百年。
注意事项
线性筛 O(n) 求全表比逐点试除快得多；工具对大 n 用筛法。
M(n) 的符号切换极不规律，没有任何已知简单模式。
M(n)=0 的位置与素数计数π(n) 的切点有深刻联系。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-15
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Calcton. 默滕斯函数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/mertens-function, 2026-09-15.
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最后更新：2026-09-15。
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