素数计数 π(x)
输入 x（≤10⁶），工具精确计数 π(x) 并对照素数定理近似与 Li(x) 数值积分。
什么是素数计数计算器？
素数计数函数 π(x) 统计不超过 x 的素数个数。素数定理（1896 年证明）断言 π(x) 与 x/ln x、Li(x) 之比趋于 1；Li(x) 是远更精确的近似——对 10 的各次幂，Li 的相对误差比 x/ln x 小一到两个数量级。
π(x) ~ x/ln x ~ Li(x)（素数定理，Hadamard & de la Vallée Poussin 1896）
Li(x) = ∫₂ˣ dt/ln t 恒大于 π(x)（已验证范围内）；x/ln x 恒低估。
如何使用素数计数计算器
- 1
输入计数上界 x（≤10⁶），点击计算。
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工具用埃拉托斯特尼筛精确计数，并用辛普森法则数值积分 Li(x)，给出两个近似的绝对与相对误差。
计算示例
例 1π(100)
π(100) = 25；x/ln x ≈ 21.71（低估 13%）；Li(100) ≈ 29.08（高估 16%）——Li 与 π 的差随 x 增大相对缩小。
例 2π(10⁶)
π(10⁶) = 78498；Li(10⁶) ≈ 78627，相对误差仅 0.16%。
注意事项
本工具 x ≤ 10⁶ 用筛法瞬间完成；更大的 x 用 Meissel-Mertens-Lehmer 或 Lucy_Hedgehog 方法。
Li(x) 的数值积分在 x 极大时需专门区间处理，辛普森 2000 段对 x ≤ 10⁶ 已足够精确。
π(x) < Li(x) 在已验证的巨大范围内恒成立，但 Littlewood 证明两者无穷次交错——「数论中最著名的谎言」。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-16
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Calcton. 素数计数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/prime-counting, 2026-09-16.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-16。
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