投票问题计算器（Ballot 数）

Q: 怎么使用投票问题计算器（Ballot 数）？

首先，输入 p（A 的得票）与 q（B 的得票），要求 p ≥ q、各不超过 300。 然后，点击「计算」得到严格领先与从不落后两个计数。 全程在页面内完成，结果即时更新。

什么是投票问题计算器（Ballot 数）？

把开票过程看作格路：每张 A 票向右、B 票向上，「A 全程严格领先」即路径始终在对角线上方。Bertrand 1887 年用抽屉原理（后由 André 反射原理给出组合证明）证明这样的序列共 (p−q)/(p+q)·C(p+q,q) 条，概率恰为 (p−q)/(p+q)，只取决于票差比例。

「从不落后」（允许平局）版本计数 (p−q+1)/(p+1)·C(p+q,q)。当 p = q = n 时它就是卡特兰数 Cₙ：weak(5,5) = 42。两个版本合称 ballot 数（OEIS A009766 等）。

严格领先：(p−q)/(p+q)·C(p+q, q)；从不落后：(p−q+1)/(p+1)·C(p+q, q)

q = p 时严格版为 0，弱版退化为卡特兰数 Cₚ = C(2p,p)/(p+1)。

如何使用投票问题计算器（Ballot 数）

1
输入 p（A 的得票）与 q（B 的得票），要求 p ≥ q、各不超过 300。
2
点击「计算」得到严格领先与从不落后两个计数。
3
公式行展示两个闭式，便于验算。
4
p = q 时严格计数为 0，属正常结果。

计算示例

例 13 比 2 的开票

p = 3, q = 2：共 C(5,2) = 10 种开票顺序，A 全程严格领先的有 2 种（AAABB、AABAB），概率 2/5 = (3−2)/(3+2) ✓；从不落后的有 5 种。

例 25 比 3

严格版 (5−3)/8·C(8,3) = 2/8·56 = 14；弱版 3/6·56 = 28。

例 3平局退化

p = q = 5：严格领先不可能（第一票若是 B 立即失败；最后一票若是 A 则中途必平），计数 0；从不落后即卡特兰数 C₅ = 42。

注意事项

严格版要求 p > q；p = q 时公式分子为 0，本工具直接返回 0 并提示。
「严格领先」的两种表述（每前缀 A>B 与「任意时刻 A 票数多于 B」）等价；「从不落后」则允许相等前缀。
概率只依赖比例 (p−q)/(p+q) 这一反直觉结论，是 Bertrand 投票定理的核心，常用于选举民调误差的解释。

常见问题

严格领先：(p−q)/(p+q)·C(p+q, q)；从不落后：(p−q+1)/(p+1)·C(p+q, q)。 q = p 时严格版为 0，弱版退化为卡特兰数 Cₚ = C(2p,p)/(p+1)。在投票问题计算器（Ballot 数）计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

严格版要求 p > q；p = q 时公式分子为 0，本工具直接返回 0 并提示；「严格领先」的两种表述（每前缀 A>B 与「任意时刻 A 票数多于 B」）等价；「从不落后」则允许相等前缀。其余细节见页面注意事项一节。

3 比 2 的开票：p = 3, q = 2：共 C(5,2) = 10 种开票顺序，A 全程严格领先的有 2 种（AAABB、AABAB），概率 2/5 = (3−2)/(3+2) ✓；从不落后的有 5 种。

首先，输入 p（A 的得票）与 q（B 的得票），要求 p ≥ q、各不超过 300。然后，点击「计算」得到严格领先与从不落后两个计数。全程在页面内完成，结果即时更新。

把开票过程看作格路：每张 A 票向右、B 票向上，「A 全程严格领先」即路径始终在对角线上方。Bertrand 1887 年用抽屉原理（后由 André 反射原理给出组合证明）证明这样的序列共 (p−q)/(p+q)·C(p+q,q) 条，概率恰为 (p−q)/(p+q)，只取决于票差比例。

两者同属相关计算链条：卡特兰数解决的是与之衔接的另一层问题。完成投票问题计算器（Ballot 数）计算后，页面底部相关推荐区可直接跳转到卡特兰数计算器继续演算，参数在同类工具间口径一致，交叉验证更方便。

5 比 3：严格版 (5−3)/8·C(8,3) = 2/8·56 = 14；弱版 3/6·56 = 28。

输入 p（A 的得票）与 q（B 的得票）。超出合理范围的输入可能导致结果无实际意义，页面注意事项一节标明了边界条件与单位口径。

本页投票问题计算器（Ballot 数）计算器与页面内的公式、示例、对照表同源，全部数字由同一套程序实时计算。可用一个已知算例代入验证：先在示例一节找到演算过程，再用相同参数在计算器中复算一遍，两次结果一致即说明口径无误。

计算过程按双精度浮点执行，结果默认保留 4 位有效小数，页面会按数值大小自动切换科学计数法。对照表中的数值与计算器输出完全同源，不存在手工四舍五入引入的偏差。

反射原理：把「曾被打平或反超」的坏路径与「首票为 B」的好路径一一映射，坏路径数 = C(p+q, q−1)，好路径 = C(p+q,q) − C(p+q,q−1) = (p−q)/(p+q)·C(p+q,q)。

14 种，概率 14/56 = 1/4 = (5−3)/(5+3)，与公式一致。

在 p = q = n 时，「从不落后」正是「括号合法序列」：开票顺序 ↔ 括号串，计数卡特兰数 Cₙ。一般 p ≥ q 的弱版有时称「ballot 三角形」。

两候选人的反射原理不再直接适用，需要多维随机游走工具；本工具仅覆盖两人情形。

C(p+q, q)：p+q 张票中选 q 个位置给 B。工具在结果中给出的两个计数都以它为分母。

从不落后的开票顺序 ↔ 从 (0,0) 到 (p,q) 不越过 y = x 的路径；严格版 ↔ 不触碰对角线的路径，两者差一个首步分类。

参考资料

凯文内容作者Calcton 数学编辑组口径审核Calcton 编辑组交叉审核· 内容更新于 2026-09-24

负责 Calcton 的公式核对与内容撰写：每个工具的公式都注明出处，示例数字经过程序复算，健康与判定标准一律采用国际口径。

Calcton 数学编辑组：标准教科书（高中至大学低年级）与常用数学手册的公式口径。

参考来源与更新说明

本页公式与判定标准参考以下权威资料：

最后更新：2026-09-24。

免责声明：本页面提供的计算结果与说明内容仅供参考，不构成医疗、税务、投资或法律等专业建议。尽管我们力求公式与数据准确，仍可能存在误差；据此做出的任何决策，请结合专业机构意见。

投票问题计算器：全程领先的计票序列数

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