伯努利不等式验证计算器
伯努利不等式（Bernoulli's Inequality）断言：当 x > −1 且 x ≠ 0、n 为正整数时，(1+x)ⁿ ≥ 1 + nx。它是指数增长"跑赢"线性增长的最简单定量表述，也是证明 AM-GM 与分析中许多估计的基础。
什么是伯努利不等式计算器？
直觉：把 (1+x)ⁿ 按二项定理展开，除线性项外还有全部正的二阶及更高阶项，因此不小于 1+nx。
x > 0 时它是复利超过单利的数学表述；x ∈ (−1, 0) 时方向不变但两边都在收缩。
推广版本：n 为实数 ≥ 1 时仍成立（配合凸性），指数在 0 与 1 之间时不等号反向。
(1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx（x > −1，x ≠ 0，n ∈ ℤ⁺）
归纳证明的核心一步：(1+x)^{k+1} ≥ (1+nx)(1+x) = 1+(k+1)x + kx² ≥ 1+(k+1)x。
如何使用伯努利不等式计算器
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第一步：输入 x（大于 −1 且不等于 0）与正整数 n。
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第二步：查看两边数值、判定结果与差值。
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第三步：对照 n = 2 到 5 的逐项差值，观察差值如何随 n 扩大。
计算示例
例 1复利 vs 单利
x = 0.05（5% 利率）、n = 10：复利 (1.05)¹⁰ ≈ 1.6289，单利 1.5。差值 0.1289 正是利滚利的贡献。
例 2负 x 的收缩
x = −0.1、n = 3：(0.9)³ = 0.729，1+nx = 0.7。0.729 ≥ 0.7 成立，收缩场景下不等号依然保持。
注意事项
x = 0 或 n = 1 时取等号；其余情形严格大于。
对 0 < n < 1 的实数指数，不等号反向：(1+x)ⁿ ≤ 1+nx，源于幂函数的凹性。
它是欧拉数 e 定义（(1+1/n)ⁿ 递增趋 e）的近亲，两者常一起出现。
高阶版本：Σ 偶数次项全正，是更强估计 (1+x)ⁿ ≥ 1+nx+C(n,2)x² 的来源。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-10
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Calcton. 伯努利不等式计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/bernoulli-inequality, 2026-09-10.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-10。
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