伯恩斯坦多项式计算器
4 次伯恩斯坦基在 x=0.3 处给出 0.2401, 0.4116, 0.2646, 0.0756, 0.0081——加起来恰好是 1。这组「权重分配」就是贝塞尔曲线控制点的数学投票机。
什么是伯恩斯坦多项式计算器？
伯恩斯坦多项式是什么？Sergei Bernstein 1912 年为构造性证明 Weierstrass 逼近定理引入：n 次基函数族 b₀…bₙ，每个 bₖ,ₙ(x) = C(n,k)xᵏ(1−x)ⁿ⁻ᵏ——本质上是二项式分布的概率质量函数。
「分割一致性」是什么？对任意 x ∈ [0,1]，Σₖbₖ,ₙ(x) = (x + (1−x))ⁿ = 1——基函数永远是「满分权重」：把 1 拆成 n+1 份非负份额，且 x=0 时全落在 b₀、x=1 时全落在 bₙ。
和贝塞尔曲线什么关系？三次贝塞尔曲线 B(x) = Σbₖ,₃(x)Pₖ：控制点 Pₖ 按「基函数权重」混合——拖动控制点就是改变混合比例。CAGD（计算机辅助几何设计）的整个曲面体系（Bézier/B 样条）都踩在这组基上。
逼近定理说什么？伯恩斯坦多项式 Bₙ(f)(x) = Σf(k/n)bₖ,ₙ(x) 随 n→∞ 一致收敛于 [0,1] 上任何连续函数 f——Weierstrass 定理的第一个构造性证明（此前只知存在）。
bₖ,ₙ(x) = C(n,k)·xᵏ·(1−x)ⁿ⁻ᵏ，k = 0…n；Σₖ bₖ,ₙ(x) = 1
二项式分布的概率质量函数同构；贝塞尔曲线 B(x) = Σ bₖ,ₙ(x)·Pₖ
如何使用伯恩斯坦多项式计算器
- 1
输入次数 n（1–12）与自变量 x（0 到 1）。
- 2
点击「计算」，列出全部 n+1 个基函数值。
- 3
验证分割一致性（求和 = 1）与最大项位置。
- 4
以权重视角理解贝塞尔曲线控制点的「影响力分布」。
计算示例
例 1例：n=4, x=0.3
b₀ = 0.7⁴ = 0.2401；b₁ = 4·0.3·0.343 = 0.4116；b₂ = 6·0.09·0.49 = 0.2646；b₃ = 4·0.027·0.7 = 0.0756；b₄ = 0.0081。和 = 1.000000 ✓。最大项 b₁（x=0.3 时权重峰值在低次端）。
注意事项
bₖ,ₙ 与二项分布 PMF 完全同构：x 换成 p 就是「n 次试验恰 k 次成功」的概率——基函数天然非负且和为 1。
峰值位置：x = k/n 时 bₖ 最大——控制点 Pₖ 的影响力在其参数位置附近最强。
导数有递推：b′ₖ,ₙ = n(bₖ₋₁,ₙ₋₁ − bₖ,ₙ₋₁)——贝塞尔曲线求导、升阶算法都靠它。
x ∈ [0,1] 是定义域；区间外的值会变号（如 k 奇且 x<0），故本工具限制输入。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-20
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Calcton. 伯恩斯坦多项式计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/bernstein-polynomials, 2026-09-20.
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最后更新：2026-09-20。
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