卡塔兰常数 G 计算器
G = 1 − 1/9 + 1/25 − 1/49 + … ≈ 0.9159655941772190——欧拉 1753 年发现的交替级数，在格点几何与统计物理里反复现身，却连是否无理数都还未被证明。
什么是卡塔兰常数计算器？
卡塔兰常数是什么：G = Σ(−1)^k/(2k+1)² = 1 − 1/9 + 1/25 − … ≈ 0.9159655941772190。欧拉 1753 年研究，后以比利时数学家卡塔兰命名。它是狄利克雷 β 函数在 s=2 的取值。
它在哪出现：L 形区域格林函数极小值、格点随机游穿的常数、双向反射分布函数（BRDF）能量、磁畴统计——二维格点问题的「π」。
收敛多快：交替级数误差 < 1/(2N+1)²：N=10⁵ 时误差约 2.5×10⁻¹¹。欧拉加速可把同等精度所需的项数再砍一个量级。
未解之谜是什么：G 是无理数吗？连这都未知（比 ζ(3) 的 Apéry 定理还差一步）；不过它的连分数展开已算到数万项，呈「漂亮的亚正规」结构。
G = Σ_{k=0}^{∞} (−1)^k/(2k+1)² = β(2) ≈ 0.91596559417721901527
狄利克雷 β 函数在 2 的值；交替级数误差 < 首弃项 1/(2N+1)²
如何使用卡塔兰常数计算器
- 1
输入项数 N（1–10⁶）。
- 2
点击「计算」，得到部分和。
- 3
对比已知值 0.9159655941772190 并读出误差。
- 4
把 N 扩大 10 倍：误差约缩为 1/100（平方律）。
计算示例
例 1例：N=100000
部分和 = 0.9159655941647147，与 G = 0.9159655941772190 误差 1.25×10⁻¹¹ ≈ 1/(4·(2N+1)²)。N=10 时只有 0.9147——三位正确。
注意事项
部分和在 G 上下振荡（交替级数），偶 N 截断偏低。
N ≤ 10⁶ 单精度累加安全；再大需 Kahan 求和。
G ≠ 卡塔兰数 Cₙ：前者是常数，后者是组合数列（1, 2, 5, 14…），别被名字混淆。
积分表示 G = −∫₀¹ ln t/(1+t²) dt 与 Γ(1/4) 关系式都是常用替代定义。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-19
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最后更新：2026-09-19。
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