中心正方形数计算器
中心正方形数把点摆成以 1 为中心的同心正方形：第 n 层环含 4(n−1) 个点，总数 CS(n) = n² + (n−1)²。它是两个相邻平方数之和，也是 4T(n−1) + 1——三角形数的四倍再加中心一点。
什么是中心正方形数计算器？
前 10 项：1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181。
平方中心正方形数：CS(1) = 1、CS(4) = 25 = 5²、CS(21) = 841 = 29²、CS(120) = 28561 = 169²。
第 n 层方形环含 4(n−1) 个点；CS(n) 与 CS(n−1) 之差为 4(n−1)。
CS(n) = n² + (n−1)² = 2n² − 2n + 1 = 4T(n−1) + 1
所有中心正方形数都 ≡ 1 (mod 4)；平方中心正方形数由佩尔方程 x² − 2y² = −1 驱动。
如何使用中心正方形数计算器
- 1
输入序号 n（1 到 10⁶），工具用 BigInt 闭式精确计算 CS(n)。
- 2
查看 4T(n−1) + 1 恒等式与整数平方根平方判定。
- 3
读取环结构行理解同心正方形的计数方式。
计算示例
例 1CS(5) = 41
25 + 16 = 41：5×5 与 4×4 两个方形点阵叠套的中心差一点。
例 2CS(4) = 25 = 5²
16 + 9 = 25，恰为 5 的平方；接下来 841 = 29²、28561 = 169²。
注意事项
注意与「直角三角形斜边平方」的巧合：n² + (n−1)² 本身是两平方和，但它作为整数是否平方由佩尔方程决定。
CS(n) ≡ 1 (mod 4) 对一切 n 成立。
平方中心正方形数 1, 25, 841, 28561, 970225 对应指数 1, 4, 21, 120, 697——斐波那契式的增长节奏。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-23
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Calcton. 中心正方形数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/centered-square-number, 2026-09-23.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-23。
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