圆定理计算器
输入相交弦的已知三段求第四段，自动验证 AE·EB = CE·ED，并附圆周角定理、切割线定理与垂径定理速查。
相交弦 AB 与 CD 交于 E：已知 AE、EB、CE 三段，求第四段 ED
什么是圆定理计算器？
圆的四大定理撑起整个圆的证明题体系：相交弦、切割线、圆周角、垂径，全部围绕"乘积相等"或"角减半"展开。
相交弦定理：圆内两弦相交，交点分弦的四段满足 AE·EB = CE·ED——由对顶角与同弧圆周角相等推出相似。
圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半；直径所对圆周角恒为 90°（泰勒斯定理），是直角的免费来源。
切割线定理：从圆外一点，切线长的平方等于割线全长与外部段之积；两条割线则为 PA·PB = PC·PD。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦与所对弧——弦长、弦心距、半径三者勾股互求的依据。
相交弦定理：AE·EB = CE·ED；圆周角定理：圆周角 = 同弧圆心角的一半
相交弦定理是相似三角形（△AEC ∽ △DEB）的直接推论；切割线定理 PA² = PB·PC 是其极限情形（交点移到圆外）。
如何使用圆定理计算器
- 1
在相交弦模式输入已知三段 AE、EB、CE。
- 2
点击计算，得到第四段 ED 与乘积相等验证。
- 3
下方法则速查行给出圆周角、切割线、垂径定理的公式要点。
- 4
几何证明题中先认出"圆内两弦相交"模型，再套定理列方程。
计算示例
例 1AE=3, EB=8, CE=4
ED = 3×8/4 = 6；验证 3×8 = 4×6 = 24 ✓。两弦交点把 8 长弦分成 3+8、6 长弦分成 4+6。
例 2切割线场景 PA=6, 外部段 PB=4
切线² = 6×4 → 切线长 = √24 = 2√6 ≈ 4.90。割线越长，同起点的切线越长。
注意事项
相交弦定理的四段是"交点到四个端点"的距离，不是整条弦长；先标好字母再代数。
切割线定理中 PB 必须是"割线全长"（外部段 + 圆内段），只乘外部段是最常见错误。
圆周角定理的"同弧"是前提：优弧与劣弧所对圆周角互补（和为 180°）。
垂径定理常与勾股定理联用：半径² = 弦心距² + 半弦长²。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-06
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Calcton. 圆定理计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/circle-theorems, 2026-09-06.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-06。
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