完全图属性计算器（Kₙ 边数与结构量）
完全图 Kₙ 是"任何两点都相连"的最稠密图：n 个人两两握手一次的模型。它的各项结构量都有闭式公式，是图论里少数能精确计数到底的图族，也常作为一般图各指标的上界参照。
什么是完全图属性计算器？
Kₙ 每个顶点与其余 n-1 个顶点相邻，总边数 n(n-1)/2——这正是"两两配对"的组合数 C(n,2)。
Cayley 公式 τ(Kₙ) = n^(n-2) 说 n 个带标号顶点的树恰好有 n^(n-2) 棵：5 个点有 125 种不同的连线方式构成树。
Kₙ 的色数就是 n：两点必相邻则必须异色，每个顶点都得独占一种颜色——它也是"n 色图"的最小代表。
边数 C(n,2) = n(n-1)/2，每点度 n-1，色数 χ = n，生成树数 τ = n^(n-2)（Cayley），哈密顿回路数 (n-1)!/2
生成树数与阶乘量用 BigInt 精确计算，n 到 100 都无舍入误差。
如何使用完全图属性计算器
- 1
输入顶点数 n（1 到 100）。
- 2
读取边数与每点度数，用于握手表、网络全互联成本等估算。
- 3
对照色数、生成树数与哈密顿回路数，理解完全图作为"上界模板"的作用。
计算示例
例 1十人握手会
n = 10：边数 C(10,2) = 45，每人握 9 次，总握手次数（度数和）90。
例 2五点生成树
n = 5：Cayley 5³ = 125 棵生成树；任意去掉 3 条边使 5 点 6 边仍连通，方案恰为 125。
例 3旅行商下界
Kₙ 上不同哈密顿回路 (n-1)!/2 条：n = 10 时 181440 条，说明暴力解 TSP 增长极快。
注意事项
哈密顿回路数按"无向回路不区分起点与方向"计，即 (n-1)!/2；若区分方向则乘 2。
n = 1 与 n = 2 时生成树数为 0 或 1 的边界：Cayley 公式对 n ≥ 2 成立（n=2 时 2⁰ = 1）。
完全图是最优结构的"敌人"：调度、网络设计中出现 Kₙ 结构常意味着成本平方级增长。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-10
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引用本页
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Calcton. 完全图属性计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/complete-graph, 2026-09-10.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-10。
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