生成树计数计算器（Cayley 与矩阵树定理）
生成树是"保持全部顶点连通的最少边骨架"：n 个点、n-1 条边、无环。数一数有多少棵不同的生成树，就是在衡量一个网络有多少种冗余连接方式——链路随便坏几条仍连通的底气。完全图有 Cayley 的漂亮公式，一般小图则靠矩阵树定理一行列式解决。
不会填？用示例数据试算（示例：st_n=5、st_mat=0 1 1 0; 1 0 1 1; 1 1 0 1; 0 1 1 0）
什么是生成树计数计算器？
生成树 = 连通 + 无环 + 覆盖全部顶点。同一图可以有很多棵生成树，每棵代表一种"恰好够用"的骨干连法。
Cayley 公式 τ(Kₙ) = n^(n-2) 是组合数学的名结果：5 个标号点有 125 棵树、10 个点有 1 亿棵（10⁸）。
矩阵树定理（Kirchhoff）把计数变成线性代数：构造度数矩阵减邻接矩阵得拉普拉斯矩阵 L，划去任意一行一列后取行列式，就是生成树棵数。
Cayley：τ(Kₙ) = n^(n-2)；矩阵树定理：τ(G) = det(L 去掉任一行列)，L = D − A 为拉普拉斯矩阵
矩阵树定理对 n ≤ 6 的小图整数消元精确求解；det 大于 0 说明连通，等于 0 说明不连通。
如何使用生成树计数计算器
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模式一（Cayley）：输入顶点数 n，直接得完全图生成树数。
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模式二（矩阵树）：输入 0/1 邻接矩阵，分号分行、空格分列，工具求去掉末行末列的行列式。
- 3
行列式为 0 说明图不连通，生成树为 0 棵；为正数即为精确棵数。
计算示例
例 1五点全互联
K₅：Cayley 5³ = 125 棵生成树；即 5 点 10 边中删 6 条边仍连通的方案恰好 125 种。
例 2四点环
四边形 A-B-C-D-A 的邻接矩阵：L 去行列后行列式为 4，正方形恰有 4 棵生成树（去掉四条边之一）。
例 3不连通识别
输入两个孤立三角形拼成的矩阵：行列式 0，工具判不连通，生成树 0 棵。
注意事项
矩阵树定理计数的是全部生成树，不是最小生成树；求 MST 条数需对相同权边组合作额外处理。
本工具矩阵上限 6 阶（整数消元保证精确）；更大的图建议直接调用行列式库或用 BEST 定理（有向）。
平行边会提高计数：重边各自算独立方案，0/1 矩阵不体现重边。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-10
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 生成树计数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/spanning-tree, 2026-09-10.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-10。
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