错位排列数计算器
错位排列数 !n 统计「没有一个人拿到自己东西」的排列数——经典的装错信封问题：n 封信全部装错信封有多少种装法？它是最著名的容斥原理入门案例，也因 !n / n! → 1/e ≈ 36.79% 而与自然对数的底结缘。
什么是错位排列数计算器？
前 11 项（!0 起）：1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961。
!15 = 481066515734、!20 = 895014631192902121；工具用 BigInt 递推精确到 n = 500。
占比收敛极快：!n / n! 从 n = 2 的 0.5 起以 1/(n+1)! 量级逼近 1/e ≈ 0.367879。
!0 = 1，!1 = 0，!n = (n−1)·(!(n−1) + !(n−2))；等价 !n = n·!(n−1) + (−1)ⁿ
显式式 !n = n!·Σ_{k=0..n} (−1)^k/k!；且 !n = ⌊n!/e + 1/2⌋ 对一切 n ≥ 1 成立（最近整数）。
如何使用错位排列数计算器
- 1
输入元素个数 n（0 到 500），工具用 BigInt 递推 !n。
- 2
读取递推说明行，理解「元素 1 放到位置 k」的两种余局分类。
- 3
参考 1/e 占比行，把结果换算成「全错位概率」的直觉估计。
计算示例
例 1!4 = 9
4 封信全装错的装法 9 种；递推 !4 = 3 × (!3 + !2) = 3 × (2 + 1) = 9；显式式 4!·(1 − 1 + 1/2 − 1/6 + 1/24) = 24 × 3/8 = 9。
例 2帽子寄存处
10 顶帽子随机发还，恰好全部发错的概率 !10/10! = 133496/3628800 ≈ 0.367879，与 1/e 的偏差已在百万分之一以下——无论 10 人还是 1000 人，全错概率都约 36.8%。
注意事项
!n 不是阶乘的否定：记号 subfactorial 读作「n 的错位排列数」，!5 = 44 而 5! = 120。
递推 !n = n·!(n−1) + (−1)ⁿ 更适合程序迭代（少一次加法），两项递推 (n−1)(!(n−1)+!(n−2)) 更适合讲组合意义。
!n = ⌊n!/e + 1/2⌋ 的「就近取整」对 n ≥ 1 全部成立，误差绝对值小于 1/2，可直接用 n!/e 心算估计。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-23
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 错位排列数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/derangement-number, 2026-09-23.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-23。
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