在线骰子期望值计算器

桌游与跑团（TRPG）里的 XdY+Z 表示「掷 X 个 Y 面骰，总和再加 Z」。单骰期望 = (Y+1)÷2，X 个骰子的期望 = X×(Y+1)÷2 + Z——4d6+2 的期望就是 16。

期望相同的骰子组合，手感完全不同：1d12（均值 6.5）是均匀分布，每个点数等可能；2d6（均值 7）是三角形分布，中间值扎堆。骰子越多分布越接近正态，极端值越少——这就是 DND 属性用 3d6 或 4d6 去掉最低的原因：压两头、抬中间。

达标概率用精确卷积计算：把每个骰子的分布逐项相乘，得到总和的完整分布，再累计 ≥ 目标值的概率。4d6 掷出 10 以上的概率是 90.3%，但掷出满点 24 的概率只有 1/1296 ≈ 0.08%。

DND 骰子系统的历史可以追溯到 1974 年 Gary Gygax 和 Dave Arneson 的初版《龙与地下城》。最初的 DND 使用 2d6 作为核心判定骰（继承自 Chainmail 战棋），1977 年 AD&D 第一版引入了 d20 作为攻击判定骰——这个改变是革命性的：d20 的均匀分布让「命中率」变成了线性可调的参数，DM 只需调整 AC（护甲等级）就能精确控制战斗节奏。1981 年 Moldvay 版 Basic D&D 首次包含了全套多面骰（d4/d6/d8/d10/d12/d20），从此「七骰套装」成为 TRPG 的标准配置。

4d6 去最低（4d6dl1）是 DND 属性生成的经典方法，期望 12.24、标准差 2.85——比 3d6 的期望 10.5 高 1.74 点，且方差更小。这个设计的精妙之处在于：它把属性分布从「对称三角」变成了「右偏三角」，让玩家更容易拿到高于平均的属性（提升代入感），同时通过去最低机制压缩了下限（最低 3 变成了事实上的 6）——减少「废角色」的挫败感。数学上，4d6dl1 掷出 18 的概率是 1.62%（vs 3d6 的 0.46%），掷出 ≤8 的概率仅 9.3%（vs 3d6 的 25.9%）。

骰子的「手感」差异源于分布形状的直观感知：1d20 的均匀分布让每一点都有 5% 的出现率——「自然 1」（大失败）和「自然 20」（大成功）同样频繁，这种高频极端值创造了 TRPG 特有的戏剧张力。相比之下，3d6 的三角分布让 10–11 点占了 25%，极端值（3 或 18）仅 0.46%——GURPS 和 HERO 系统选择 3d6 正是为了「常态化」判定结果，减少随机性对叙事的干扰。选择骰子系统本质上是选择「随机性的性格」：d20 是狂野的 storyteller，3d6 是稳重的 accountant。

现代 TRPG 设计对骰子概率的运用已高度精细化：DND 5e 的「优势/劣势」（Advantage/Disadvantage）机制用「取两次大值/小值」替代了繁琐的 ±2/±5 修正——优势将 d20 期望从 10.5 提升到 13.9（+3.4），劣势降到 7.2（−3.3），效果等价于 ±3.3 修正但无需心算。这个设计被数学界评价为「优雅的近似」：它在保持概率分布形状不变的前提下，用一个简单操作实现了数值修正，且对玩家有强烈的心理暗示（「多掷一次」比「+3」感觉更慷慨）。