龙曲线计算器
把纸条对折再对折，反复 n 次后展开并让每处折痕成直角——纸条盘成一条自不相交的「巨龙」。输入阶数，看方向序列、终点与包围盒，折线实时绘制。
原理：龙曲线（Heighway 龙）由不断对折纸条得到——把纸条反复对折 n 次后展开，使每处折痕成直角，纸条便盘成一条巨龙。方向序列满足正则折叠规律：d(2n) = d(n)、d(4n+1) = 1（右转）、d(4n+3) = 0（左转）；也可迭代构造 D(n+1) = D(n) + [右转] + reverse(D(n) 取反)。前 16 步方向为 1,1,0,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,0,0,1。曲线的神奇性质：n = 8 时从 (0,0) 出发恰好停在 (16, 0)，且整条曲线自不相交——阶数每加一，段数翻倍、龙身对折加倍。
步骤：输入折叠阶数 n（1–15），程序计算方向序列并逐段追踪，绘制折线并给出终点与包围盒。
示例：n = 5 时终点 = (−4, 4)，包围盒 6 × 7；n = 8 时终点 = (16, 0)，包围盒 23 × 15，共 256 段。
注意事项：n ≤ 15（32768 段已达渲染上限）；坐标以步长 1 的格点计。龙曲线是分形——n → ∞ 时维数为 2（它最终铺满平面区域），豪斯多夫维数恰好为 2。
相关：n = 8 段数 256；终点 (16, 0)；包围盒 23 × 15。
什么是龙曲线计算器？
龙曲线（Heighway dragon）由 NASA 物理学家 Heighway 等人 1960 年代提出：纸条反复对折 n 次，展开后把所有折痕弯成 90°，纸条即盘成巨龙。它是分形的入门明星——《侏罗纪公园》小说每章的章头图就是它逐阶生长的过程。
方向序列可用正则折叠规律直接写第 k 段：反复除 2（d(2n) = d(n)），直到奇数 m，d = m mod 4 == 1 ? 1 : 0（1 = 右转、0 = 左转）。前 16 步：1,1,0,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,0,0,1——与迭代构造 D_{n+1} = D_n + [1] + reverse(D_n 取反) 完全一致。
n 阶曲线共 2ⁿ 段，全部落在整数格点上且自不相交——这是非平凡定理（Knuth 有专文）。终点也有规律：n = 8 时从原点出发恰停在 (16, 0)；n = 5 时终点 (−4, 4)，包围盒跨度 6 × 7。
极限意义下 n → ∞ 时龙曲线是维数恰好为 2 的分形：它的自相似复制（两半各自缩小 √2 并旋转 45°）使面积收敛而路径无限长，最终铺满一块平面区域——「一条线填满面」的最经典构造之一。
本工具按阶数 n（1–15）追踪 2ⁿ 段折线，输出段数、终点、包围盒跨度并绘制 SVG 折线。
正则折叠：d(2n) = d(n)，d(4n+1) = 1，d(4n+3) = 0；迭代构造 D_{n+1} = D_n + [1] + reverse(D_n 取反)
n 阶共 2ⁿ 段；前 16 步方向 1,1,0,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,0,0,1（1 = 右转，0 = 左转）；n = 8 时终点 (16, 0)、包围盒跨度 23 × 15。
如何使用龙曲线计算器
- 1
输入折叠阶数 n（1–15）。
- 2
点击绘制，查看 SVG 折线、段数 2ⁿ、终点与包围盒跨度。
- 3
对比 n = 5 与 n = 8：观察龙身对折加倍、终点回到 x 轴的规律。
计算示例
例 1n = 5
32 段，终点 = (−4, 4)，包围盒跨度 6 × 7——小龙初具形态。
例 2n = 8
256 段，终点 = (16, 0)，包围盒跨度 23 × 15；曲线无一处自交。
例 3方向序列
前 16 步 1,1,0,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,0,0,1——正则折叠与迭代构造两种算法输出完全一致。
注意事项
阶数限制 n ≤ 15（32768 段）：折线追踪本身 O(2ⁿ)，SVG 点数过多会卡渲染，n = 12 以上已接近浏览器舒适上限。
转向约定（1 = 右转 / 0 = 左转）与起步朝向影响坐标朝向但不影响形状；本工具朝东起步、第一段不转向，与标准文献一致。
龙曲线是 IFS（迭代函数系统）的范例：整条曲线 = 两份半尺寸副本拼合，分形维数 log 2/log √2 = 2，与「铺满平面」一致。
折痕全取直角是「直线龙」；若交替取 ±90° 以外的角度（如 120°）可得龙族变体（Lévy 龙、twindragon），自交性质随之改变。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-10-01
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GB/T 7714 格式
Calcton. 龙曲线计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/dragon-curve, 2026-10-01.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-10-01。
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