等边三角形

等边三角形（正三角形）的每个量都是边长 a 的简洁函数：高 h = (√3 ÷ 2)a ≈ 0.866a，面积 = (√3 ÷ 4)a²，外接圆半径 R = a ÷ √3，内切圆半径 r = a ÷ (2√3)，且 R = 2r 恒成立。√3 在这里的角色如同 √2 之于正方形。

它还是平面密铺的三种正多边形之一（另两种是正方形、正六边形）：60° × 6 = 360° 恰好铺满。蜂房底部的菱形、富勒烯的碳环、桁架桥的基本单元，都利用等边三角形「刚性 + 均分」的力学与几何优势。

等边三角形把三角形的对称性推到极致：三角 60°、三边相等、三高合一（中线、角平分线、垂直平分线全部重合）。一切参数由边长 a 单变量派生：h = (√3÷2)a ≈ 0.866a、面积 = (√3÷4)a² ≈ 0.433a²、R = a÷√3、r = a÷(2√3)。0.866 与 1.732 这两个系数的无理根源，就是 h 表达式里的 √3。

重心把高按 2:1 分割，而重心同时是垂心、内心、外心——所以 R = (2÷3)h、r = (1÷3)h，外接圆半径恰好是内切圆半径的 2 倍。一般三角形三心分离没有这个比例，R = 2r 可反过来当作等边三角形的判据（欧拉不等式 R ≥ 2r 的等号条件）。

三种可单独密铺平面的正多边形之一（内角 60° 整除 360°），三角网格是平面最省的均分方式：蜂窝六边形的骨架实质是三角网格（每个顶点三条棱互成 120°）。立体世界里，正四面体、正八面体、正二十面体三种柏拉图立体全部由等边三角形构成——它是立体几何的通用砖块。

力学稳定性：三角形是唯一不可变形的多边形（三边固定形状唯一，SSS），等边三角形各杆受力最均匀，是桁架的理想单元。自行车架、输电塔、脚手架的基本构成都是三角形；等边桁架在均布载荷下各杆内力相等，材料利用率最高。

作图与分形：尺规作图最简单（圆规量边长截弧即得第三顶点）；圆内接作法与正六边形同图——半径六等分圆周，隔点相连。科赫雪花以它为生成元：每边中段凸起小三角，迭代无限周长趋于无穷而面积收敛于 1.6 倍，是最早被研究的分形曲线（1904 年）。