欧拉-麦克劳林求和近似
欧拉-麦克劳林公式是连接离散求和与连续积分的桥梁。选择级数与上限 n，对照精确和、仅积分项、积分+端点修正、含伯努利项的完整近似，直观看到每一阶修正带来的精度跃升。
欧拉-麦克劳林公式把离散求和与积分联系起来：Σ f(k) ≈ ∫ f dx + (f(1)+f(n))/2 + (1/12)(f′(n)−f′(1)) − (1/720)(f‴(n)−f‴(1))…。对缓慢发散级数（如调和级数）给出高精度截断近似。
调和级数 H₁₀₀ ≈ 5.18738：仅积分项给 ln 100 ≈ 4.605（误差 11%），加端点修正后误差约 0.4%，再补 B₂、B₄ 两项降到 10⁻⁷ 量级。欧拉常数 γ = 0.5772156649… 正是 Hₙ − ln n 的极限；E-M 公式也是 Romberg 求积的理论来源。
什么是欧拉-麦克劳林求和近似？
欧拉-麦克劳林公式（1735 年，欧拉与麦克劳林独立发现）把有限和表示为积分加端点修正加伯努利数级数：Σ f(k) = ∫f dx + (f(1)+f(n))/2 + (B₂/2!)(f′(n)−f′(1)) − (B₄/4!)(f‴(n)−f‴(1)) + …。
它是渐近展开的另一个源头：对调和级数给出 Hₙ = ln n + γ + 1/(2n) − 1/(12n²) + 1/(120n⁴) − …，其中 γ = 0.5772156649… 就是欧拉-马歇罗尼常数。
数值上它也是 Romberg 求积（梯形法外推加速）的理论基础。
Σₖ₌₁ⁿ f(k) = ∫₁ⁿ f dx + (f(1)+f(n))/2 + Σ B₂ₘ/(2m)!·(f⁽²ᵐ⁻¹⁾(n) − f⁽²ᵐ⁻¹⁾(1)) + R
B₂ = 1/6、B₄ = −1/30；调和级数 Hₙ = ln n + γ + 1/(2n) − 1/(12n²) + …，γ 为欧拉常数。
如何使用欧拉-麦克劳林求和近似
- 1
选择级数：调和级数 Σ1/k、Σ√k 或 Σ1/√k
- 2
输入求和上限 n
- 3
点击计算，得到精确累加值与 E-M 近似（含 B₂、B₄ 两项）
- 4
调和级数额外展示经典渐近式与欧拉常数
计算示例
例 1H₁₀₀ 的四级精度阶梯
精确值 H₁₀₀ ≈ 5.1873775 仅积分 ln 100 ≈ 4.6052，误差 11% + 端点修正 (1 + 0.01)/2 ≈ 0.505 → 5.1102，误差 1.5% + B₂ 项 (1/12)(1 − 1/10⁴) → 5.18738，误差 ~1e-7
例 2大 n 的极限行为
n = 10⁶ 时 Hₙ ≈ ln n + γ ≈ 14.3927 调和级数发散但极其缓慢：到 10⁶ 项才积到 14.4 「要使 Hₙ 超过 100，需要 e¹⁰⁰⁻ᵞ ≈ 10⁴³ 项」——发散速度的定量刻画 E-M 公式是把这种慢发散量化为公式的唯一通用工具
注意事项
端点修正的几何图像：梯形法近似积分，误差恰由导数端点值与伯努利数刻画
f 的导数在端点衰减越快，E-M 级数越精确；对指数衰减的 f 几乎给出精确值
B₄ 项符号为负：−(1/720)(f‴(n)−f‴(1))，调和级数中是 −(1/720)(−1/n³ + 2)
Romberg 求积正是反复用 E-M 的梯形误差结构做 Richardson 外推
求和上限很大时精确累加代价 O(n)，E-M 公式 O(1)——大 n 场景（如解析数论）不可替代
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-12
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Calcton. 欧拉-麦克劳林求和近似[EB/OL]. https://www.calcton.com/euler-maclaurin, 2026-09-12.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-12。
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