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欧拉数计算器

欧拉数 E₂ₙ：sec x 与 sech x 的幂级数系数，正负号切换即 sin 与 sinh 的镜像。

欧拉数计算器
x（−π/2 < x < π/2，sec 级数收敛域）

欧拉数 E₂ₙ（OEIS A000364 的绝对值序列 1, 1, 5, 61, 1385, 50521, …）由 sec x = Σ |E₂ₙ|x^(2n)/(2n)! 与 sech x = Σ E₂ₙx^(2n)/(2n)!（符号约定 E₂ = −1）同时生成：一条序列驱动双曲与三角两套展开，正负号的切换就是 sin 与 sinh 的关系。它们还是正割数与交错排列计数（Entriegelungszahlen）的组合学对象。

页面内置 A000364 前 13 项硬编码表（到 E₂₈ = 15514534163557086905，超出这个量级 (2n)! 的增长会让 double 溢出），并当场用级数与内置 sec/sech 对照。注意 sech 展开在 |x| 大于 π/2 后发散（极点在 ±iπ/2），这正是输入框限位的原因；sec(0.5) 的 13 项部分和与权威值一致到 1e-8。

参考值

E₀ = 1，E₂ = −1，E₄ = 5，E₆ = −61，E₈ = 1385，E₁₀ = −50521，E₁₂ = 2702765

E₂₈ = 15514534163557086905（13 项表末，double 已接近安全边界）

sech(1) 级数部分和 ≈ 0.6480542737（对照 1/cosh 1 = 0.6480542736638855），sec(0.5) = 1.1394939325212391

什么是欧拉数计算器？

欧拉数 E2n（正割数）计算器插图

欧拉数（正割数）E₂ₙ 由 sec x 的泰勒展开生成：sec x = 1 + x²/2 + 5x⁴/24 + 61x⁶/720 + …，系数 1, 1, 5, 61, 1385, 50521, 2702765 就是 |E₂ₙ|。同一条序列带符号后（E₂ = −1）又生成 sech x——三角与双曲由 sin/sinh 的 i 关系镜像，欧拉数是这个镜像的系数表达。

组合学身份：|E₂ₙ| 计数「交替排列」（up-down permutations）的数量——n 个元素的蛇形排列数正是 Eₙ（索引错位的版本叫 Entriegelungszahlen）。André 1881 年的交错排列理论让这条序列有了纯组合生命。

生成函数 1/cos x 的极点在 ±π/2、±3π/2、…：这决定了 sec 级数的收敛半径恰为 π/2，也解释了为什么欧拉数增长是 (2/π)^(2n)·(2n)! 型超指数。

sec x = Σ |E₂ₙ|·x^(2n)/(2n)!，sech x = Σ E₂ₙ·x^(2n)/(2n)!（E₀ = 1，E₂ = −1，E₄ = 5，E₆ = −61，…）

A000364 前 13 项硬编码（到 E₂₈ = 15514534163557086905）；sec(0.5) 级数部分和与权威值一致到 1e-8，sech(1) 对照 1/cosh 1。

如何使用欧拉数计算器

  1. 1

    查表区直接读取 |E₂ₙ| 前 13 项（带符号与绝对值两栏）。

  2. 2

    输入 x（−π/2 < x < π/2）计算 sec(x) 与 sech(x) 的级数部分和，并与内置函数对照。

  3. 3

    组合计数：n 个元素的蛇形排列数 = |Eₙ|（n 为偶数时直接查表，奇数用 Entringer 数递推）。

计算示例

例 1E₀ 到 E₆

E₀ = 1，E₂ = −1，E₄ = 5，E₆ = −61，E₈ = 1385，E₁₀ = −50521，E₁₂ = 2702765

例 2表末大数

E₂₈ = 15514534163557086905（13 项，double 安全边界）

例 3sec(0.5)

sec(0.5) = 1.1394939325212391（13 项部分和一致到 1e-8）

例 4sech(1)

sech(1) ≈ 0.6480542737（对照 1/cosh 1 = 0.6480542736638855）

注意事项

  • sec 级数收敛半径 π/2：|x| 超过 1.5708 后级数发散——这不是精度问题而是极点位置（1/cos x 在 ±π/2 处爆炸）。

  • sech 级数带符号（E₂ = −1 约定），与 Bernoulli 数的 B₁ = −1/2 约定同理——查其他资料时先核对符号约定。

  • E₂ₙ 与 Bernoulli 数 B₂ₙ 有解析连接：E₂ₙ = 2·(4^(n+1)/(π^(2n+1)·(2n+1))) 型 ζ 值组合——欧拉数、Bernoulli 数、ζ 函数三角互联。

常见问题

sec x = Σ |E₂ₙ|·x^(2n)/(2n)!，sech x = Σ E₂ₙ·x^(2n)/(2n)!（E₀ = 1，E₂ = −1，E₄ = 5，E₆ = −61，…）。 A000364 前 13 项硬编码（到 E₂₈ = 15514534163557086905）；sec(0.5) 级数部分和与权威值一致到 1e-8，sech(1) 对照 1/cosh 1。 在欧拉数 E2n（正割数）计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

sec 级数收敛半径 π/2：|x| 超过 1.5708 后级数发散——这不是精度问题而是极点位置（1/cos x 在 ±π/2 处爆炸）；sech 级数带符号（E₂ = −1 约定），与 Bernoulli 数的 B₁ = −1/2 约定同理——查其他资料时先核对符号约定。 其余细节见页面注意事项一节。

E₀ 到 E₆：E₀ = 1，E₂ = −1，E₄ = 5，E₆ = −61，E₈ = 1385，E₁₀ = −50521，E₁₂ = 2702765

首先，查表区直接读取 |E₂ₙ| 前 13 项（带符号与绝对值两栏）。 然后，输入 x（−π/2 < x < π/2）计算 sec(x) 与 sech(x) 的级数部分和，并与内置函数对照。 全程在页面内完成，结果即时更新。

欧拉数（正割数）E₂ₙ 由 sec x 的泰勒展开生成：sec x = 1 + x²/2 + 5x⁴/24 + 61x⁶/720 + …，系数 1, 1, 5, 61, 1385, 50521, 2702765 就是 |E₂ₙ|。同一条序列带符号后（E₂ = −1）又生成 sech x——三角与双曲由 sin/。

两者同属相关计算链条：伯努利数解决的是与之衔接的另一层问题。完成欧拉数 E2n（正割数）计算后，页面底部相关推荐区可直接跳转到伯努利数计算器继续演算，参数在同类工具间口径一致，交叉验证更方便。

表末大数：E₂₈ = 15514534163557086905（13 项，double 安全边界）

输入 x（−π/2 < x < π/2）计算 sec(x)。超出合理范围的输入可能导致结果无实际意义，页面注意事项一节标明了边界条件与单位口径。

本页欧拉数 E2n（正割数）计算器与页面内的公式、示例、对照表同源，全部数字由同一套程序实时计算。可用一个已知算例代入验证：先在示例一节找到演算过程，再用相同参数在计算器中复算一遍，两次结果一致即说明口径无误。

计算过程按双精度浮点执行，结果默认保留 4 位有效小数，页面会按数值大小自动切换科学计数法。对照表中的数值与计算器输出完全同源，不存在手工四舍五入引入的偏差。

不是。欧拉数 E₂ₙ 是整数序列（sec 级数系数），欧拉常数 γ ≈ 0.5772 是调和级数与对数的极限差——两个都以 Euler 命名的对象。

生成函数 1/cos x 的最近极点在 π/2，系数必按 (2/π)^(2n)·(2n)! 型增长——收敛半径越小，系数增长越猛，这是复分析的普适定律。

1 到 n 的排列中相邻元素大小交替（如 2, 1, 4, 3, 5）；n = 4 时有 5 种、n = 5 时有 16 种，正是 E₄ = 5、E₅ = 16——Andre 的著名对应。

参考资料

  1. [1]NIST DLMF：数学函数与公式权威参考
  2. [2]Wolfram MathWorld：数学条目百科
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凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-28

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Calcton 数学编辑组：标准教科书（高中至大学低年级）与常用数学手册的公式口径。

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GB/T 7714 格式

Calcton. 欧拉数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/euler-numbers, 2026-09-28.

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参考来源与更新说明

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最后更新：2026-09-28。

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