伯努利数 Bₙ 生成与查表
伯努利数藏在幂和、tan、ζ(2k) 与欧拉-麦克劳林公式背后。输入 n（≤ 30），用递推 Bₙ = −1/(n+1)·ΣC(n+1,k)Bₙ 以分数精确生成整行伯努利数表。
伯努利数由递推 Σ C(n+1, j)Bⱼ = 0 以 BigInt 分数精确生成（无浮点误差）。它们是幂和公式的系数、ζ(2k) 的 π 幂来源、欧拉-麦克劳林公式的修正项。
什么是伯努利数计算器？
伯努利数是一列有理数 B₀, B₁, B₂…，由雅各布·伯努利在研究整数幂和时引入：1+2+…+n = n²/2 + n/2 的推广公式里，各次幂的系数正是伯努利数。
它们反复出现在看似无关的地方：ζ(2) = π²/6、ζ(4) = π⁴/90 都含 B 偶数项；tan x 的泰勒展开、欧拉-麦克劳林求和修正项、数论中的类数公式，全是伯努利数的舞台。
Σⱼ C(n+1, j)·Bⱼ = 0（j 取 0..n−1），即 Bₙ = −1/(n+1)·Σⱼ C(n+1, j)Bⱼ
B₀ = 1，B₁ = −1/2，B₂ = 1/6，B₄ = −1/30；奇数项 B₃ 起全为 0。
如何使用伯努利数计算器
- 1
输入想要的最大阶 n（建议 ≤ 30）
- 2
点击计算，得到 B₀…Bₙ 的分数精确值表
- 3
奇数项（B₃ 起）应全为 0——这是递推正确性的自检
- 4
结合幂和公式理解：Σk^p 的展开系数即 B 数
计算示例
例 1前十项
n = 10 B₀ = 1，B₁ = −1/2，B₂ = 1/6 B₃ = 0，B₄ = −1/30，B₆ = 1/42 B₈ = −1/30，B₁₀ = 5/66
例 2幂和公式的系数
Σk² = n³/3 + n²/2 + n/6 1/6 正是 B₂ = 1/6 的贡献 Σk⁴ = n⁵/5 + n⁴/2 + n³/3 − n/30 −1/30 来自 B₄
注意事项
B₁ 有两种约定：+1/2 与 −1/2，本工具用现代主流的 −1/2（幂和公式配套）
B 数增长极快：B₂₀ = −174611/330 ≈ −529（分子爆炸），n > 30 后数值不稳定，需分数运算
ζ(2k) = |B₂ₖ|·(2π)²ⁿ/(2·(2k)!)：每个偶数伯努利数都锁定一个 π 的偶次幂
欧拉-麦克劳林公式的修正项系数正是 B₂ₖ/(2k)!，这是它「越修越准」的来源
生成函数 x/(eˣ−1) = ΣBₙxⁿ/n!：泰勒展开前几项即伯努利数，也可用此法验算
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-13
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Calcton. 伯努利数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/bernoulli-numbers, 2026-09-13.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-13。
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