卡塔兰数计算器
C₄ = 14：4 对括号的合法排列、10 个节点的二叉树、n 个元素的出栈序列——全都是 14。卡塔兰数是组合数学里最会「一数多用」的序列。
什么是卡塔兰数计算器？
卡塔兰数是什么：C₀, C₁, C₂, … = 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429……任何「前缀不落后」的配对结构都数它：合法括号串、Dyck 路径、二叉树形态、出栈序列、凸多边形三角剖分……
为什么公式是 C(2n,n)/(n+1)：2n 步路径里 n 步向右 n 步向左共 C(2n,n) 条，其中「中途从未越过对角线」的合法路径占 1/(n+1)——反射原理给出的精确配额。
名字背后是谁：欧拉 1751 年研究多边形剖分时发现；比利时数学家 Eugène Charles Catalan 1838 年独立研究并深入——「卡塔兰」由李善兰? 不，由现代文献定名，与卡塔兰常数（另一位同姓者）无关。
多少项是「安全区」：C₃₀ = 3814986502092304（16 位）仍在 64 位内；n 更大时 BigInt 接管——本工具支持到 C₃₀ 并给出精确值。
Cₙ = C(2n, n)/(n+1) = (2n)!/((n+1)!·n!)
递推 C₀ = 1，Cₙ₊₁ = Σᵢ Cᵢ·Cₙ₋ᵢ；渐近 Cₙ ~ 4ⁿ/(n^{3/2}√π)
如何使用卡塔兰数计算器
- 1
输入 n（0–30）。
- 2
点击「计算」，得到 Cₙ 精确值。
- 3
查看封闭式 C(2n,n)/(n+1) 与递推式。
- 4
对比相邻几项感受 4 倍增长率。
计算示例
例 1例：C₅ = 42
C(10,5)/6 = 252/6 = 42。5 对括号的合法排列、6 个节点的二叉树、3×3 网格不越对角线路径——都是 42 种。相邻项：C₂=2、C₃=5、C₄=14、C₅=42、C₆=132。
注意事项
Cₙ ≠ 卡塔兰常数 G（≈0.9159…）：一个是整数序列，一个是级数常数，只是姓氏相同。
n+1 整除 C(2n,n) 是严格恒等式——结果必为整数，BigInt 除法无余数。
渐近增长 ~4ⁿ/n^{3/2}：n=30 时已是 16 位数，别用普通 number 直接累乘。
递推式 ΣCᵢCₙ₋ᵢ 是卷积：生成函数满足 C(x) = 1 + x·C(x)²，解出 C(x) = (1−√(1−4x))/(2x)。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-20
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-20。
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