杨辉三角
每个数等于肩上两数之和——这个诞生于南宋的三角，藏着组合数、二项式定理与斐波那契。
什么是杨辉三角？
杨辉三角（中国南宋杨辉 1261 年《详解九章算法》记载，比欧洲帕斯卡早约 400 年）的构造只需一条规则：每个数等于它正上方两数之和，边界全为 1。第 5 行是 1 4 6 4 1。第 n 行第 k 个数恰好是组合数 C(n,k)（从 0 计数）——三角形就是组合数的几何化身。
它是二项式定理的速查表：(a+b)⁴ 的展开系数就是第 4 行 1 4 6 4 1：(a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴。每行之和为 2ⁿ（第 4 行 1+4+6+4+1 = 16 = 2⁴）——因为展开式令 a=b=1 即得。这个性质在概率论中对应"n 次试验所有结果的方案总数"。
三角形里还埋着无数彩蛋：斜列是三角形数（1,3,6,10…）、浅对角线之和生成斐波那契数列（1,1,2,3,5,8…）、把奇数涂黑会得到谢尔宾斯基分形图案。 hockey-stick 恒等式（沿对角线取一段和等于"棒柄"处的数）是组合恒等式证明的常用武器。
杨辉三角在中国最早见于南宋杨辉 1261 年《详解九章算法》（引自更早的贾宪，约 1050 年），西方则归名于帕斯卡 1653 年《论算术三角》——他系统研究了其组合性质并用于概率论奠基。同一个三角形在不同文明中独立出现：印度称为「须弥山阶梯」，波斯见于海亚姆的著作，是数学史上跨文化发现的经典案例。
三角中藏着大量数列：第 2 斜列是自然数 1,2,3,…；第 3 斜列是三角数 1,3,6,10,…（前 n 个自然数之和）；第 4 斜列是四面体数；沿浅对角线求和则得到斐波那契数列 1,1,2,3,5,8,…。行和为 2ⁿ、各行交替和为 0（n≥1）、把每个数看作各位数字还能拼出 11 的幂（前几行）。这些性质使它成为组合计算器与二项分布计算器的共同几何源头。
C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k)；第 n 行和 = 2ⁿ
杨辉三角的构造规则：每行首尾为 1，内部每个数等于肩上两数之和，即 C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k)。第 n 行第 k 个数（从 0 计）恰为组合数 C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)。例如第 5 行 1 5 10 10 5 1 对应 C(5,0)…C(5,5)，行和 1+5+10+10+5+1 = 32 = 2⁵。
| 行号 n | 行内容 | 行和 2ⁿ | 斜列含义 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 顶点 |
| 1 | 1 1 | 2 | 自然数列起点 |
| 2 | 1 2 1 | 4 | 三角数出现前奏 |
| 3 | 1 3 3 1 | 8 | 立方展开系数 |
| 4 | 1 4 6 4 1 | 16 | 四面体数起点 |
| 5 | 1 5 10 10 5 1 | 32 | C(5,2) = 10 |
| 6 | 1 6 15 20 15 6 1 | 64 | 中心值 20 = C(6,3) |
| 7 | 1 7 21 35 35 21 7 1 | 128 | 奇数行无中心值 |
如何使用杨辉三角
- 1
输入行数（如 8）。
- 2
点击计算，得完整杨辉三角与各行组合数。
计算示例
例 1前 5 行
1 / 1 1 / 1 2 1 / 1 3 3 1 / 1 4 6 4 1。第 4 行（1 4 6 4 1）就是 (a+b)⁴ 的展开系数，行之和 16 = 2⁴。
例 2查组合数 C(4, 2)
看第 4 行第 2 个（从 0 数）：6。验证：C(4,2) = 4!÷(2!×2!) = 6 ✓。从 4 门课选 2 门、4 人赛排出 2 强，都是这 6 种。
例 3二项式展开的系数表
展开 (a+b)⁵：系数取第 5 行 1 5 10 10 5 1，得 a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵。代入 a=2、b=1 可验证：2⁵ + 5·2⁴ + 10·2³ + 10·2² + 5·2 + 1 = 32+80+80+40+10+1 = 243 = 3⁵，与 (2+1)⁵ 一致。
例 4用递推而不是阶乘求 C(10,4)
从第 0 行逐行加到第 10 行：第 10 行为 1 10 45 120 210 252 210 …，直接读出 C(10,4) = 210。避免了 10! = 3 628 800 的大数中间量，手算和编程小 n 场景都更快。每个数只做一次加法，总加法次数约 n²/2。
例 5斜列求和找斐波那契
沿「浅对角线」求和：第 0 行 1；第 1 行 1；第 2 行的 1 + 第 1 行的 1 = 2；第 3 行的 1 + 第 2 行的 2 = 3；第 4 行的 1 + 第 3 行的 3 + 第 2 行的 1 = 5；得到 1,1,2,3,5,8,13,… 恰为斐波那契数列，可用递推式 C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k) 严格证明。
注意事项
行号与位置都从 0 开始计数：第 n 行有 n+1 个数，最大项在正中。
每行左右对称（C(n,k) = C(n,n−k)），对称轴处数值最大。
n 大时中间项增长极快（C(2n,n) ≈ 4ⁿ/√(πn)），展示时注意位数溢出。
杨辉三角模 2 的图案即谢尔宾斯基三角形——分形与组合数的惊人交汇。
行号从 0 开始是组合学标准约定（第 n 行对应 (a+b)ⁿ），某些教材从 1 开始编号，引用时注意换算。
生成大行时中间值增长极快：C(60,30) ≈ 1.18×10¹⁷ 已逼近 64 位整数上限，编程时用递推加法而不是阶乘可推迟溢出。
「第 n 行和为 2ⁿ」的行号从 0 起算：第 0 行和为 1 = 2⁰，不要误以为第一行和为 2。
卢卡斯定理给出奇偶分布的精美刻画：C(n,k) 为奇当且仅当 k 的二进制位是 n 的子集——这正是谢尔宾斯基三角分形的来源。
组合数恒等式（如曲棍球棒恒等式、范德蒙恒等式）大多能在三角中找到几何直观，证明题先画三角再找路径是常用策略。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-04-29
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Calcton. 杨辉三角[EB/OL]. https://www.calcton.com/pascal-triangle, 2026-04-29.
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参考来源与更新说明
本页公式与判定标准参考以下权威资料：
- Wikipedia - Pascals triangle
- Math Is Fun - Pascals Triangle（交互演示与性质图解）
- Khan Academy - Binomial theorem & combinatorics
最后更新：2026-04-29。
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