欧拉数（Eulerian Numbers）计算器
n 个数的排列里，恰好出现 m 个「升段」的有多少种？答案藏在欧拉数三角里：第 n 行加起来永远是 n!——它是把阶乘按「颠簸程度」切开的手术刀。
什么是欧拉数三角形计算器？
欧拉数是什么？A(n,m) 计数「恰有 m 个升段」的 n 元排列：相邻两处 aᵢ < aᵢ₊₁ 记一个升段。第 4 行 1,11,11,1——4 个数的排列共 24 个，升段数恰为 0 的只有逆序 4321 这 1 个。
递推怎么理解？把 n 插入 (n−1) 元排列的某个空隙：插到升段中会「分裂」升段数不变？错——插到升段末尾使升段 +1 的方式有 (n−m−1) 种，插到「顶点」使升段不变的方式有 (m+1) 种——恰好对应递推两项。
行和为什么是 n!？每个排列都有唯一的升段数 m，按 m 分类求和自然覆盖全部 n! 个排列——欧拉三角是对阶乘的「按波形分桶」。
Worpitzky 恒等式是什么？xⁿ = Σₘ A(n,m)·C(x+m, n)——把幂函数拆成二项式系数的线性组合，是欧拉数最著名的第二身份（有限差分学的基石）。
A(n, m) = (n − m)·A(n−1, m−1) + (m + 1)·A(n−1, m)
边界 A(1,0) = 1；第 n 行共 n 项（m = 0…n−1），行和 ΣA(n,m) = n!
如何使用欧拉数三角形计算器
- 1
输入 n（1–15）。
- 2
点击「计算」，生成欧拉三角第 n 行（BigInt 精确值）。
- 3
查看行和 = n! 的验证。
- 4
对照相邻行观察递推结构。
计算示例
例 1例：n=5 行 1,26,66,26,1
行和 1+26+66+26+1 = 120 = 5! ✓。n=5 的 120 个排列中，「颠簸居中」（3 个升段）的最多——66 个；完全逆序（0 升段）与完全升序（4 升段）各 1 个。
注意事项
本工具的欧拉数是「排列升段计数」，与欧拉常数 γ、欧拉的特征数（eⁿ 拆分）毫无关系——同名家族庞大，注意甄别。
A(n,m) 对 m 对称：A(n,m) = A(n, n−1−m)——把排列倒过来读，升段变降段，数量守恒。
n=15 时 A(15,7) = 774781271339（13 位），BigInt 全程精确。
欧拉数分布近似正态：均值 (n−1)/2、方差 (n+1)/12——升段数是排列的「温度计」。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-20
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GB/T 7714 格式
Calcton. 欧拉数三角形计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/eulerian-numbers, 2026-09-20.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-20。
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