0! = 1
0 的阶乘规定为 1：这不是拍脑袋的约定，而是空积（零个数相乘）的严格定义——把「什么都不乘」的乘积定为乘法单位元 1。它同时保证递推式 n! = n × (n-1)! 在 n = 1 时也成立：1! = 1 × 0! = 1。
1
0 的阶乘：1 × 2 × … × 0，从 1 乘到 0 的全部整数之积
位数
1 位
科学计数法
1
末尾零
0 个
计算步骤
- 第一步：空积定义
空积约定：零个数相乘的乘积为 1（乘法单位元）。0! = 1 由此而来，与「任何空集只有一种排列方式」计数一致。
- 第二步：递推一致性
递推式 n! = n × (n-1)! 要求 1! = 1 × 0!，而 1! = 1，反解得 0! = 1——约定与递推互洽。
- 第三步：组合计数验证
C(n, 0) = n!/(0! × n!) = 1，只有 0! = 1 才能让公式成立：从 n 个元素中选 0 个恰有一种方法。
- 第四步：往上生长
1! = 1 × 0! = 1，2! = 2 × 1 = 2，3! = 6——阶乘数列从空积出发逐项翻倍增长。
素因数分解视角
0 < 2，尚无素因子——0! = 1。从 2! = 2 开始出现第一个素因子 2。
递推链
0! = 11! = 1
实际场景
排列组合的基石
从 n 个元素选 0 个、给 0 个人排队都只有一种方法（什么都不做），所以 C(n,0) = 1、P(n,0) = 1——这些公式里都藏着 0! = 1。1! = 1 × 0! = 1，空积不是玄学，是计数逻辑的必然。
相邻阶乘
常见问题
两个独立理由都指向 1：其一，空积定义——零个数相乘等于乘法单位元 1，正如空和等于 0；其二，递推一致性——n! = n × (n-1)! 代入 n = 1 得 1! = 1 × 0!，由 1! = 1 反解出 0! = 1。计数上「从 n 个元素选 0 个只有一种方法」也要求 C(n,0) = 1。
0! = 1 末尾没有零——因子里还没有 5（第一个 5 出现在乘数 5 中），因此凑不出 10。从 5! = 120 开始末尾出现第一个零。
双精度浮点（Number）只能精确表示到 18!（19! 起超出 2^53 安全整数）；64 位无符号整数到 20! 为止（21! 超出）；双精度能「装下」的最大阶乘是 170! ≈ 7.26 × 10^306，再大就溢出为 Infinity。本表 0!-100! 全部由 BigInt 精确递推，末位分毫不差。
阶乘最快。n! 每项乘上递增因子（×1、×2、×3……），2^n 每项固定 ×2，F(n) 每项平均 ×1.618。Stirling 公式 n! ≈ (n/e)^n × √(2πn) 表明阶乘超指数增长——比任何固定底的幂都快。
排列数 A(0, k) = 0! / (0 - k)!（从 0 个元素按顺序取 k 个）；组合数 C(0, k) = 0! / (k! × (0 - k)! )（不计顺序）。两者相除得 k!——顺序信息恰好值 k! 倍。
继续计算
本页收录自阶乘值表，共 101 个精确值覆盖 0! 到 100!。 查看 全部 101 个阶乘对照。