8! = 40,320
8 的阶乘等于从 1 乘到 8 的全部整数之积：8! = 4.0320 × 10^4，共 5 位，末尾恰好 1 个零。阶乘是排列组合公式的基本积木，也是增长最快的常见数列之一。
40,320
8 的阶乘：1 × 2 × … × 8，从 1 乘到 8 的全部整数之积
位数
5 位
科学计数法
4.0320 × 10^4
末尾零
1 个
计算步骤
- 第一步：写出定义
8! = 1 × 2 × 3 × … × 8，即从 1 乘到 8 的全部整数之积。
- 第二步：递推关系
8! = 8 × 7! = 8 × 5,040 = 40,320。递推让每一项只需一次乘法。
- 第三步：素因数分解视角
把 1 到 8 各数分解质因数再合并：8! 的素因数中2 出现 7 次、3 出现 2 次、5 出现 1 次。每个素数 p 的次数由 Legendre 公式 e = Σ ⌊8/p^i⌋ 直接算出。
- 第四步：末尾零计数
末尾 1 个零：每个 10 = 2 × 5，因子 2 远多于 5，零的个数由 5 决定——⌊8/5⌋ = 1。
素因数分解视角
把 1 到 8 各数分解质因数再合并，8! 共含 4 个素因子（Legendre 公式 e = Σ ⌊n/p^i⌋）：
27325171
递推链
7! = 5,0408! = 40,3209! = 362,880
实际场景
8 个人排队有多少种站法
8 个人排成一列，第一个位置有 8 种选法、第二个有 7 种……总方案数正是 8! = 40,320——从这里开始，全排列就数不过来了。
相邻阶乘
常见问题
两个独立理由都指向 1：其一，空积定义——零个数相乘等于乘法单位元 1，正如空和等于 0；其二，递推一致性——n! = n × (n-1)! 代入 n = 1 得 1! = 1 × 0!，由 1! = 1 反解出 0! = 1。计数上「从 n 个元素选 0 个只有一种方法」也要求 C(n,0) = 1。
8! 末尾有 1 个零。末尾零来自因子 10 = 2 × 5，而 2 的因子远多于 5，所以零的个数由 5 决定：Legendre 公式 ⌊8/5⌋ = 1（25 = 5² 会额外贡献一个 5）。
双精度浮点（Number）只能精确表示到 18!（19! 起超出 2^53 安全整数）；64 位无符号整数到 20! 为止（21! 超出）；双精度能「装下」的最大阶乘是 170! ≈ 7.26 × 10^306，再大就溢出为 Infinity。本表 0!-100! 全部由 BigInt 精确递推，末位分毫不差。
阶乘最快。n! 每项乘上递增因子（×1、×2、×3……），2^n 每项固定 ×2，F(n) 每项平均 ×1.618。Stirling 公式 n! ≈ (n/e)^n × √(2πn) 表明阶乘超指数增长——比任何固定底的幂都快。
排列数 A(8, k) = 8! / (8 - k)!（从 8 个元素按顺序取 k 个）；组合数 C(8, k) = 8! / (k! × (8 - k)! )（不计顺序）。两者相除得 k!——顺序信息恰好值 k! 倍。
继续计算
本页收录自阶乘值表，共 101 个精确值覆盖 0! 到 100!。 查看 全部 101 个阶乘对照。