笛卡尔叶形线计算器

原理

笛卡尔叶形线（folium of Descartes，1638）方程 x³ + y³ = 3axy。参数化 x = 3at/(1+t³)、y = 3at²/(1+t³)：t = 0 与 t → ∞ 都落在原点（二重点），t ∈ (0, ∞) 画出第一象限的叶。

极坐标 r = 3a·sinθ·cosθ/(sin³θ+cos³θ)，叶面积 A = (1/2)∫₀..π/2 r²dθ = 3a²/2（两个 sinθcosθ³ 的积分恰相消出闭式）；周长无初等闭式，用参数速度 GL16 数值积分。渐近线 x + y + a = 0 与叶尖相距 √2·a。

使用步骤

① 输入标度 a；② 计算叶面积与周长；③ 参数式取点用于作图（结果区给出 t = 0.5 的点）。

计算示例

a = 1：A = 1.500000000000（= 1.5，shoelace 与极坐标双路径一致）、L ≈ 2.458744360841；t = 0.5 时点 ≈ (1.333333333333, 0.666666666667)；渐近线在 x + y = −1。

注意事项

t = −1 是参数化的奇点（分母为零，对应渐近线远端）。叶形线历史亮点：笛卡尔用它与费马争论切线求法；费马用 unheard-of 方法（即求导）秒解。x³+y³ 与 3axy 各项同次，曲线关于 y = x 对称。

常见问题

Q：叶面积为什么这么小（1.5a²）？A：叶在第一象限被 y = x 对称剖开，两个弓形积分恰好一半正一半负相互抵消，只剩中央叶——闭式 3a²/2。

Q：与「双叶」版本的区别？A：把方程换成 x⁴+y⁴ = axy² 得到双叶线（bifolium）；本工具只处理三叶名的经典 folium（实为一叶 + 渐近线两支）。