Cassini 卵形线计算器
比椭圆多一道乘法的曲线：距离之和恒定是椭圆，距离之积恒定就是 Cassini 卵形线——形状随离心率在双卵、双纽线、单卵之间相变。
Cassini 卵形线是到两定点距离之积为常数的轨迹：(x²+y²)² − 2a²(x²−y²) = a⁴(e⁴−1)。乘积条件让它与椭圆（距离之和）分道扬镳——土星环缝的测量、双天线干涉的等响应线都用它。离心率 e 是唯一的形状旋钮：e < 1 分裂成两个卵，e = 1 恰好是伯努利双纽线（面积 2a²），e > 1 捏成一个花生形单卵。
极坐标径向为二次方程 r² = a²(cos 2θ ± √(cos²2θ + e⁴ − 1))：e < 1 时双卵不含原点，每条射线穿过环两次，面积 = 外支减内支的环差积分 A = 2a²∫√(cos²2θ−(1−e⁴))dθ；e > 1 单卵含原点，只取正根 A = (1/2)∫r²dθ。gen198 用双根极坐标与直角切片（外支减内支水平切片）两条路径交叉验证一致。
参考值（a = 1）
e = 2（单卵）：A = 12.367658048844；e = 1（双纽线）：A = 2
e = 0.8（双卵）：A = 0.682857658624；e = 0.5：A = 0.098960391097
什么是Cassini 卵形线计算器？
Giovanni Domenico Cassini 在研究太阳-地球视运动时提出：到两个焦点 F₁、F₂ 距离之积恒为 b² 的点的轨迹。以半焦距 a 为尺度参数、e = b/a 为离心率，曲线随 e 经历三种形态。
e < 1：两个分离的卵形（不含原点，因为原点到焦点距离之积为 0 < b²）；e = 1：恰好捏合成伯努利双纽线 ∞ 字形，面积 2a²；e > 1：融成一个含原点的单卵形。
极坐标方程是 r 的二次方程 r² = a²(cos2θ ± √(cos²2θ−w))（w = 1−e⁴）：e < 1 时角域受限且每条射线穿环两次，面积必须取内外两支之差——这是最容易算错的地方，本工具按相变区间自动分支。
(x²+y²)² − 2a²(x²−y²) = a⁴(e⁴−1)；e < 1 时 A = 2a²∫₋θ₀^θ₀√(cos²2θ−(1−e⁴))dθ，θ₀ = ½arccos√(1−e⁴)
e > 1 单卵含原点，A = ½∫r₊²dθ（r₊ 取二次方程较大根）；e = 1 双纽线 A = 2a²；e < 1 双卵不含原点，每条射线穿过环两次，面积为内外支环差。三支公式均与直角坐标切片法及 shoelace 面积交叉验证一致。
如何使用Cassini 卵形线计算器
- 1
输入尺度参数 a（焦点间距的一半）
- 2
输入离心率 e = b/a
- 3
读取形态（双卵/双纽线/单卵）、极坐标角域与总面积
- 4
用 e = 1 的双纽线面积 2a² 做连续性自检
计算示例
例 1双纽线相变点
a = 1、e = 1：伯努利双纽线，总面积 = 2a² = 2
例 2宽扁单卵
a = 1、e = 2：单卵形，面积 12.367658048844（约为外接圆的 3.9 倍）
例 3双卵
a = 1、e = 0.5：两个小卵，总面积仅 0.098960391097；e = 0.8 时 0.682857658624
注意事项
e < 1 时面积急剧收缩：卵形远离原点且环带窄，别按椭圆直觉估算。
e > 1 的极坐标积分在全周期无奇点；e < 1 必须限制在角域 [−θ₀, θ₀] 内积分。
双纽线的曲率在原点发散（∞ 字交叉点），数值作图在此处要加密采样。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-29
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-29。
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