Stern 二原子序列计算器
输入 n，本计算器生成 fusc(0) 到 fusc(n)——又称 Stern 二原子序列——并标出 2 的幂性质与极值点。
递推与 Calkin–Wilf 树
fusc(0) = 0, fusc(1) = 1；fusc(2n) = fusc(n)，fusc(2n+1) = fusc(n) + fusc(n+1)
前 16 项：0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4
又称 Stern 二原子序列（A002487）。相邻对 (fusc(n), fusc(n+1)) 沿 Calkin–Wilf 树恰好枚举每个正分数一次：1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/2, 2/3, 3/1… 极值性质：n < 1024 内最大值 fusc(683) = 89，恰是第 11 个斐波那契数——极值沿斐波那契阶梯攀升。
什么是Stern 二原子序列计算器？
Stern 二原子序列（fusc，A002487）由递推定义：fusc(0) = 0、fusc(1) = 1、fusc(2n) = fusc(n)、fusc(2n+1) = fusc(n) + fusc(n+1)。前几项为 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4。
它最著名的身份是 Calkin–Wilf 树的「基因序列」：相邻二元组 (fusc(n), fusc(n+1)) 沿对角线阅读，1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/2, 2/3, 3/1, 1/4, 4/3…——每个正分数恰好出现一次。这给出一个无重复、可显式计算第 n 项的正分数枚举。
fusc(0) = 0, fusc(1) = 1；fusc(2n) = fusc(n)，fusc(2n+1) = fusc(n) + fusc(n+1)
该序列按 Calkin–Wilf 树的广度优先序枚举每个正分数恰好一次：(fusc(n), fusc(n+1)) 即第 n 层? 第 n 个分数的分子分母。
如何使用Stern 二原子序列计算器
- 1
在输入框填写 n（1 到 4096）。
- 2
点击「生成 Stern 二原子序列」。
- 3
查看 fusc(n) 值与前 16 项。
- 4
若 n 是 2 的幂，查看 fusc(2^k) = 1 性质。
计算示例
例 1n
n = 20 → fusc(20) = fusc(10) = fusc(5) = fusc(2) + fusc(3) = 1 + 2 = 3。
例 2n
n = 1024 → fusc = 1（2 的幂恒为 1）。
例 3n
n = 683 → fusc = 89（n < 1024 内的最大值，恰为第 11 个斐波那契数）。
注意事项
fusc(2^k) = 1 对一切 k ≥ 0 成立，且极值沿斐波那契阶梯攀升：n < 2^m 内的最大值是第 m+1 个斐波那契数（m = 10 时为 fusc(683) = 89）。
fusc(n) 的二进制结构对应连分数展开：fusc(n) 是 n 的二进制表示所确定的连分数的部分和。
Calkin–Wilf 树每个节点的孩子是 a/(a+b) 与 (a+b)/b——fusc 序列即这棵树的广度优先「读出」。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-25
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引用本页
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Calcton. Stern 二原子序列计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/fusc, 2026-09-25.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-25。
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