超几何函数 ₂F₁ 计算器

超几何函数是什么？₂F₁(a,b;c;x) = 1 + (ab/c)x + a(a+1)b(b+1)/(c(c+1)2!)·x² + …——级数每项都是前项乘 (a+k)(b+k)/((c+k)(k+1))·x。Carl Friedrich Gauss 1812 年系统研究，「超几何」之名来自欧拉（比几何级数更一般的几何）。

为什么是「函数之母」？取特殊参数即得熟面孔：₂F₁(1,1;2;x) = −ln(1−x)/x；₂F₁(a,b;b;x) = (1−x)^{−a}；₂F₁(−n,b;c;x) 是 n 次多项式（雅可比、勒让德、切比雪夫全是它的参数特例）。

怎么数值计算？逐项递推：term_{k+1} = term_k·(a+k)(b+k)/((c+k)(k+1))·x——每项 O(1) 次乘除，|x|<1 时几何衰减，通常几十项收敛到机器精度。

收敛条件是什么？|x|<1 绝对收敛；x=1 时收敛 ⇔ Re(c−a−b)>0（高斯判据）；x=−1 条件收敛于 Re(c−a−b)>−1。c 是非正整数时级数分母归零——函数未定义。