分部积分计算器

∫u dv = uv − ∫v du。模板结果：∫x^n·e^(ax)dx = x^n·e^(ax)/a − (n/a)∫x^(n−1)·e^(ax)dx；∫x^n·ln x dx = x^(n+1)ln x/(n+1) − x^(n+1)/(n+1)²（n≠−1）；∫e^(ax)sin(bx)dx = e^(ax)(a·sin bx − b·cos bx)/(a²+b²)。。 n=−1 时 ∫x^(−1)ln x dx = (ln x)²/2 + C；指数×三角模板循环两次后回到原式，移项求解。 在分部积分计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

1. u 选错会让 ∫v du 更复杂，遵循 LIATE 可避免；2. ∫ln x dx 视为 u=ln x、dv=dx 的分部，结果 x·ln x − x + C；3. 指数×三角类型分部两次后出现原积分，靠移项解出，注意系数不是 1；4. 定积分同样适用，代入上下限计算即可。

两次分部降次：∫x²·e^x dx：u=x²（LIATE 中代数优先于指数），dv=e^x dx。第一次分部得 x²e^x − 2∫x·e^x dx；再对 ∫x·e^x dx 分部得 x·e^x − e^x；合并结果 x²e^x − 2x·e^x + 2e^x + C = e^x(x²−2x+2)+C。

首先，1. 选择被积函数类型（幂×指数、幂×三角、幂×对数、指数×三角） 然后，2. 填入幂次 n 与系数 a、b 全程在页面内完成，结果即时更新。

分部积分是乘积求导法则的逆运算：∫u dv = uv − ∫v du。

两者同属相关计算链条：定积分解决的是与之衔接的另一层问题。完成分部积分计算后，页面底部相关推荐区可直接跳转到定积分计算器继续演算，参数在同类工具间口径一致，交叉验证更方便。

本页分部积分计算器与页面内的公式、示例、对照表同源，全部数字由同一套程序实时计算。可用一个已知算例代入验证：先在示例一节找到演算过程，再用相同参数在计算器中复算一遍，两次结果一致即说明口径无误。

计算过程按双精度浮点执行，结果默认保留 4 位有效小数，页面会按数值大小自动切换科学计数法。对照表中的数值与计算器输出完全同源，不存在手工四舍五入引入的偏差。

对数函数无法直接积出初等原函数，但求导后会变成简单的 1/x，所以把 ln x 选为 u，把剩下的部分选为 dv。

Logarithm（对数）、Inverse trig（反三角）、Algebraic（幂）、Trigonometric（三角）、Exponential（指数）的首字母缩写，排在越前面的越优先选为 u。

u=x、dv=sin x dx，得 −x·cos x + ∫cos x dx = −x·cos x + sin x + C。

幂次 n≥2 乘指数或三角时，每次分部幂次降 1，需要重复 n 次；指数×三角相乘则循环两次后移项。

不能得到初等原函数，无论怎么选 u 和 dv 都会更复杂，这类积分需要用级数或特殊函数（如 Ei 函数）表示。