黎曼和计算器
输入函数、区间 [a,b] 与分割数 n，计算器同时输出左端点、右端点、中点、梯形四种黎曼和，并给出与精确值的误差对比。
不会填？用示例数据试算（示例：n=10）
什么是黎曼和计算器？
黎曼和用"矩形面积之和"逼近曲线下面积：把 [a,b] 切成 n 小段，每段上取一点的高度乘以段宽再全部加起来。
取点方式决定近似效果：左端点在增函数上偏低、右端点偏高；中点法误差最小（一阶精度）；梯形法对线性函数精确。
当 n→∞ 时四种黎曼和都收敛到同一个值——定积分 ∫ᵃᵇf(x)dx，这正是"积分是无限细分求和"的含义。
Δx=(b−a)/n；左和 Lₙ=Σf(xᵢ)Δx，右和 Rₙ=Σf(xᵢ₊₁)Δx，中点 Mₙ=Σf((xᵢ+xᵢ₊₁)/2)Δx，梯形 Tₙ=Δx·[f(a)/2+f(b)/2+Σf(xᵢ)]。
内置 f(x)=x²、x³、√x、1/x、eˣ、sin x 六种函数；精确值由辛普森法（n=2048）给出。
如何使用黎曼和计算器
- 1
选择函数类型，设置区间端点 a、b 与分割数 n（1–2000）。
- 2
对比四种黎曼和的数值与相对误差。
- 3
增大 n 观察误差按 1/n（中点/梯形为 1/n²）缩小的收敛现象。
计算示例
例 1例 1：∫₀² x² dx
精确值 8/3 ≈ 2.6667。n=10 时：左和 2.280、右和 3.080（偏大）、中点 2.660、梯形 2.680。中点与梯形明显更准。
例 2例 2：n 翻倍的收益
同一函数 n 从 10 增到 100：左和误差从 0.387 降到 0.035，近似缩小为 1/10——验证误差 ∝ 1/n。
注意事项
增函数上左和低估、右和高估；减函数相反。中点与梯形的偏差方向则取决于凸性，而非单调性。
梯形法对直线段函数（一次函数）完全精确；中点法对二次函数有 n² 级收敛，通常是最优选择。
n 太大（>10⁶）会累积浮点舍入误差，本计算器上限 2000 已足够教学演示。
黎曼和是"定积分"的定义工具，但实际计算定积分靠牛顿–莱布尼茨公式 F(b)−F(a)，两者相辅相成。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-02
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引用本页
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Calcton. 黎曼和计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/riemann-sum, 2026-09-02.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-02。
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