Jeffreys 散度计算器（Jeffreys Divergence Calculator）
KL 散度不对称带来方向选择烦恼？直接两个方向都算再相加。输入分布 p 与 q，工具给出 KL(p‖q)、KL(q‖p) 与对称和 J。
原理：Jeffreys 散度 J(p, q) = KL(p‖q) + KL(q‖p)，把非对称的 KL 散度按两个方向求和对称化——又称对称 KL 或 J 散度，由统计学家 Harold Jeffreys 提出。
步骤：① 输入两个分布（各项须大于 0）；② 点击计算；③ 读出两个方向的 KL 与对称和。
示例：p = (0.5, 0.5)、q = (0.9, 0.1) 时 KL(p‖q) = 0.736965594166、KL(q‖p) = 0.531004406411、J = 1.267970000577 比特；p = (0.25, 0.25, 0.5)、q = (1/3, 1/3, 1/3) 时 J = 0.166666666667 比特。
注意事项：任一方向出现零概率对非零概率时 J 变为无穷大；J 对称但仍是散度而非距离——它不满足三角不等式；J 不超过 2 倍 JS 的上界关系（J ≤ 2·JS·log2e 换底口径需注意）；贝叶斯统计中 Jeffreys 先验与本散度同名但不同物。
相关：KL 散度计算器给出单方向度量；Jensen-Shannon 计算器用混合分布做另一种对称化；总变差距离计算器给出有界线性口径。
什么是Jeffreys 散度计算器？
Jeffreys 散度是最直接的对称化：把「以 p 为真去预测 q」与「以 q 为真去预测 p」两份 KL 代价加在一起——两个方向的编码损失都不放过。
它由统计学家 Harold Jeffreys 在 1948 年提出，比 Jensen-Shannon 的对称化更早也更简单：不做混合，直接求和。
对指数族分布，J 散度有漂亮的闭式：正态分布时 J = (μ1−μ2)²(1/σ1² + 1/σ2²)/2 + 方差项——均值差在两边都被计入。
J(p, q) = KL(p‖q) + KL(q‖p)，对称且非负，等于 0 当且仅当 p = q
又称对称 KL 或 J 散度；任一方向出现零概率对非零概率时 J 为无穷大。
如何使用Jeffreys 散度计算器
- 1
输入两个分布（各项须大于 0，否则某方向 KL 爆炸）。
- 2
点击计算，读出两个方向的 KL 与对称和 J。
- 3
对比两方向 KL 的大小：差距大说明不对称性显著。
计算示例
例 1经典两格
p = (0.5, 0.5)、q = (0.9, 0.1) 时 KL(p‖q) = 0.736965594166、KL(q‖p) = 0.531004406411、J = 1.267970000577 比特。
例 2均匀 vs 三格
p = (0.25, 0.25, 0.5)、q = (1/3, 1/3, 1/3) 时 J = 0.166666666667 比特——两方向各贡献一半。
例 3完全一致
p = q 时两个方向的 KL 都是 0、J = 0——散度零点约定。
注意事项
J 无上界：分布支撑不重叠时趋于无穷大——要「有界的对称散度」请用 JS 或 TVD。
J 仍不是距离：对称了但不满足三角不等式；√J 也不满足。
与 JS 的关系：J ≤ 2·JS/(ln 2)（自然对数口径），JS 可看作 J 的「温和化」版本。
贝叶斯模型选择中 J 对应 Jeffreys-Bayes 因子的对称版本；与 Jeffreys 先验同名不同物——先验是参数空间上的分布。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-10-06
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最后更新：2026-10-06。
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