Lambert W 函数计算器
输入 x，本计算器解方程 weʷ = x：x ≥ −1/e 时给出主支 W₀(x)；−1/e < x < 0 时同时给出第二支 W₋₁(x)，并回代自检。
解方程 weʷ = x：输入右端 x，返回两个实数支 W₀(x) 与（x 为负时）W₋₁(x)。
一个"反解指数"的函数
W(x)e^W(x) = x；在 x = −1/e 处两支相遇（W = −1），x 越过 −1/e 实数解消失
凡是被解变量同时出现在指数和系数里的问题都会撞上 W：二极管方程 I = Iₛ(e^(V/nV_T) − 1) 解电压、SIR 疫情模型峰值时间 t = τ − W(−e^(−1/τ)/τ)、组合学里 n 个节点的有根树数目与递推 aₙ = n·aₙ₋₁ 的生成函数。双支结构来自 f(w) = weʷ 在 w = −1 处的极小值 −1/e：左侧值域 (−1, 0) 被映射两次，于是 W₋₁ 存在且处处 ≤ −1。
什么是Lambert W 函数计算器？
Lambert W 函数是方程 weʷ = x 的解——凡是未知数同时出现在指数上和系数里的问题，移项整理后都会落到它身上。主支 W₀(x) 定义域 [−1/e, ∞)，在 x = 0 处取 0；第二支 W₋₁(x) 只在 [−1/e, 0) 上存在，从 −1 单调递减到 −∞。
W(1) = Ω ≈ 0.567143290409784 被称为欧米伽常数，满足 Ωe^Ω = 1，与 ln Ω = −Ω 自洽；W(e) = 1、W(−1/e) = −1 是支点。组合学里 n 个节点的有根树数目满足递推 Tₙ = n·Tₙ₋₁ 的生成函数反过来由 W 给出。
W(x)·e^{W(x)} = x（即 W 是 f(w) = weʷ 的反函数）
实数域要求 x ≥ −1/e ≈ −0.367879。f 在 w = −1 处取最小值 −1/e：x ∈ (−1/e, 0) 有两支解 W₀ ∈ (−1, 0) 与 W₋₁ ≤ −1；x ≥ 0 仅 W₀。
如何使用Lambert W 函数计算器
- 1
在输入框填写 x（要求 x ≥ −1/e ≈ −0.367879）。
- 2
点击「求解 W(x)」。
- 3
查看 W₀(x) 主支解；x 为负时同时查看 W₋₁(x)。
- 4
对照自检行 w·eʷ 验证回代等于 x。
计算示例
例 1x
x = 1 → W₀(1) = Ω ≈ 0.567143290409784，因为 0.567143…×e^0.567143… = 1。
例 2x
x = e → W₀(e) = 1（1·e¹ = e）；x = 10 → W₀(10) ≈ 1.745528002740699。
例 3x
x = −0.1 → 两支：W₀ ≈ −0.111832559、W₋₁ ≈ −3.577152063957297（−3.577×e^−3.577 ≈ −0.1）。
注意事项
x < −1/e 时方程无实数解（本工具会明确报错），复数解需进入复平面另算。
x = 0 与支点 x = −1/e 附近牛顿迭代退化，本工具对支点直接返回 −1。
W₋₁ 支随 x 从 −1/e 到 0⁻ 单调递减至 −∞，没有下界——别把它当有限值使用。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-26
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. Lambert W 函数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/lambert-w, 2026-09-26.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-26。
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