指数增长/衰减计算器 - y=a·bᵗ 模型求解

Q: 指数增长/衰减计算器 - y=a·bᵗ 模型求解是怎么算出来的？

y = a·bᵗ；连续复利等价形式 y = a·e^(rt)，其中 r = ln b。 计算器输入任意三个量求第四个（初值/倍率/期数/终值），并给出翻倍或减半时间与 72 法则估算对照。 在指数增长/衰减计算器 - y=a·bᵗ 模型求解计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

Q: 怎么使用指数增长/衰减计算器 - y=a·bᵗ 模型求解？

首先，选择求解目标：终值 / 初值 / 倍率 / 期数 然后，按增长率口径输入（如每年 5% 填 b=1.05 或直接填增长率） 全程在页面内完成，结果即时更新。

什么是指数增长计算器？

模型：y = a·bᵗ，a 为初值，b 为每期倍率，t 为期数

增长率口径：每期 +5% ⇔ b=1.05；每期 −20% ⇔ b=0.8

翻倍时间 t₂ = ln2/ln b；半衰期 t₁/₂ = ln(1/2)/ln b = −ln2/ln b

y = a·bᵗ；连续复利等价形式 y = a·e^(rt)，其中 r = ln b

计算器输入任意三个量求第四个（初值/倍率/期数/终值），并给出翻倍或减半时间与 72 法则估算对照。

如何使用指数增长计算器

1
选择求解目标：终值 / 初值 / 倍率 / 期数
2
按增长率口径输入（如每年 5% 填 b=1.05 或直接填增长率）
3
读取终值与翻倍（或减半）时间
4
对照 72 法则与连续复利两种近似

计算示例

例 1年化 5% 十年后

y=1000×1.05¹⁰≈1628.89。翻倍时间 ln2/ln1.05≈14.21 年；72 法则估算 72/5≈14.4 年，与精确值接近。

例 2半衰期

放射性物质每 10 年衰变一半（b=0.5，t 以 10 年计）。初始 80g，35 年后 y=80×0.5^3.5≈7.07g。减半时间恒为 10 年，与当前质量无关。

注意事项

名义年利率 5% 按月复利的实际年倍率是 (1+0.05/12)¹²≈1.0512，大于 1.05——注意复利频率口径
倍率必须为正：b≤0 在指数模型中无意义
连续复利 e^(rt) 是离散复利 (1+r/n)^(nt) 当 n→∞ 的极限，同一 r 下连续复利终值最大

常见问题

y = a·bᵗ；连续复利等价形式 y = a·e^(rt)，其中 r = ln b。计算器输入任意三个量求第四个（初值/倍率/期数/终值），并给出翻倍或减半时间与 72 法则估算对照。在指数增长/衰减计算器 - y=a·bᵗ 模型求解计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

名义年利率 5% 按月复利的实际年倍率是 (1+0.05/12)¹²≈1.0512，大于 1.05——注意复利频率口径；倍率必须为正：b≤0 在指数模型中无意义。其余细节见页面注意事项一节。

年化 5% 十年后：y=1000×1.05¹⁰≈1628.89。翻倍时间 ln2/ln1.05≈14.21 年；72 法则估算 72/5≈14.4 年，与精确值接近。

首先，选择求解目标：终值 / 初值 / 倍率 / 期数然后，按增长率口径输入（如每年 5% 填 b=1.05 或直接填增长率）全程在页面内完成，结果即时更新。

模型：y = a·bᵗ，a 为初值，b 为每期倍率，t 为期数

两者同属相关计算链条：翻倍时间计算器 - 增长翻倍与减半在线计算解决的是与之衔接的另一层问题。完成指数增长/衰减计算器 - y=a·bᵗ 模型求解计算后，页面底部相关推荐区可直接跳转到翻倍时间计算器 - 增长翻倍与减半在线计算继续演算，参数在同类工具间口径一致，交叉验证更方便。

半衰期：放射性物质每 10 年衰变一半（b=0.5，t 以 10 年计）。初始 80g，35 年后 y=80×0.5^3.5≈7.07g。减半时间恒为 10 年，与当前质量无关。

输入（如每年 5% 填 b=1.05 或直接填增长率）。超出合理范围的输入可能导致结果无实际意义，页面注意事项一节标明了边界条件与单位口径。

本页指数增长/衰减计算器 - y=a·bᵗ 模型求解计算器与页面内的公式、示例、对照表同源，全部数字由同一套程序实时计算。可用一个已知算例代入验证：先在示例一节找到演算过程，再用相同参数在计算器中复算一遍，两次结果一致即说明口径无误。

计算过程按双精度浮点执行，结果默认保留 4 位有效小数，页面会按数值大小自动切换科学计数法。对照表中的数值与计算器输出完全同源，不存在手工四舍五入引入的偏差。

增长 r%（r 为正数）对应 b=1+r/100；衰减 r% 对应 b=1−r/100。例如增长 5% 是 b=1.05，衰减 20% 是 b=0.8。

完全相同的模型：本金 a、每期利率 r、n 期后终值 a(1+r)ⁿ，就是 b=1+r 的指数增长。金融复利只是指数增长的应用场景。

由 ln2/ln(1+r)≈0.693/r 在 r 较小时 ≈72/r（把小数化成百分数）近似而来。它对 4%–10% 的年利率误差小于 0.5 年，便于口算。

参考资料

凯文内容作者Calcton 数学编辑组口径审核Calcton 编辑组交叉审核· 内容更新于 2026-09-04

负责 Calcton 的公式核对与内容撰写：每个工具的公式都注明出处，示例数字经过程序复算，健康与判定标准一律采用国际口径。

Calcton 数学编辑组：标准教科书（高中至大学低年级）与常用数学手册的公式口径。

参考来源与更新说明

本页公式与判定标准参考以下权威资料：

最后更新：2026-09-04。

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