标量场线积分（曲线积分）计算器
线积分把定积分的积分区间换成空间曲线：∫f ds 沿曲线把 f 累加，ds 是弧长微元。选一条曲线与函数，看数值如何逼近解析值。
什么是线积分计算器？
第一类线积分（对弧长）计算 f 沿曲线的累积量。
参数化 r(t) 把曲线写成时间的轨迹，|r′| 是瞬时速率。
几何直觉：把铁丝各点的密度 f 加起来就是总质量。
弧长积分是 f ≡ 1 的特例：∫ds 即曲线长度。
第二类线积分（对坐标）∫P dx + Q dy 则与向量场做功相关。
∫_C f(x, y) ds = ∫_a^b f(x(t), y(t))·|r′(t)| dt
r(t) 是曲线参数化，|r′(t)| 把时间微元换成弧长微元。
如何使用线积分计算器
- 1
选择预设：圆弧、直线或抛物线（函数与曲线绑定）。
- 2
结果给出弧长、线积分数值（N = 400 中点法）与解析值。
- 3
对照解析表达式理解 |r′| 因子的作用。
- 4
同一曲线换函数可体会"权重"随位置变化。
计算示例
例 1圆弧上的线性场
f = x+y 沿单位圆四分之一弧：|r′| = 1，积分 = ∫₀^{π/2}(cos t + sin t)dt = 2。
例 2直线上的平方场
f = x² 沿 (0,0) 到 (1,1)：ds = √2 dt，积分 = √2·∫₀¹t²dt = √2/3 ≈ 0.4714。
注意事项
线积分与参数化无关：换参数只改变积分限与 |r′|，乘积不变。
ds 是标量微元，没有方向；反向积分结果不变。
数值法在 |r′| 剧烈变化处需更多分段。
若曲线闭合且场是梯度场，第二类线积分为零（与第一类不同）。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-12
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Calcton. 线积分计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/line-integral, 2026-09-12.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-12。
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