格林公式验证计算器
格林公式把闭合曲线上的环流量 ∮P dx + Q dy 与区域上的二重积分 ∬(∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA 等起来：内部所有微小旋转的总和恰等于边界上的总环流。
什么是格林公式计算器？
格林公式是牛顿-莱布尼茨公式在二维的推广：边界积分等于内部导数积分。
被积量 ∂Q/∂x − ∂P/∂y 是向量场的二维旋度（标量版）。
旋转场 (−y, x)：旋度处处为 2，环流 = 2×面积。
径向场 (x, y)：旋度为 0，沿圆的环流为 0——径向场无旋转趋势。
它是斯托克斯定理的平面特例：微小旋转的累加等于边界环流。
∮ P dx + Q dy = ∬ (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA
曲线取正向（逆时针），区域在其左侧。
如何使用格林公式计算器
- 1
选择向量场预设：旋转场、径向场或剪切场。
- 2
输入圆域半径 r。
- 3
结果给出左侧环流量与右侧二重积分的数值。
- 4
两侧之差反映数值误差，理论上应为零。
计算示例
例 1旋转场单位圆
F = (−y, x)：环流 ∮(−y dx + x dy) = ∫₀^{2π} r² dθ = 2πr²；二重积分 ∬2 dA = 2πr²，两侧一致。
例 2剪切场
F = (0, x)：旋度 = 1，二重积分 = πr²；环流 ∮x dy = πr²，一致。
注意事项
要求 P、Q 在区域内有连续偏导；含奇点（如点涡）需挖洞处理。
曲线方向必须为正向（逆时针），反向差一个负号。
旋度为零的场沿任何闭路环流为零，这是保守场的判据之一。
本工具的双重积分用极坐标网格，线积分用 720 段中点法。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-12
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Calcton. 格林公式计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/greens-theorem, 2026-09-12.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-12。
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