矩形区域二重积分计算器
二重积分 ∬f dA 是"以 f 为高的柱体体积"：把矩形区域切成小格，每格用中点函数值乘面积求和。选函数、定区域，看数值与解析值如何吻合。
什么是二重积分计算器？
二重积分把一元积分的"曲线下面积"推广为"曲面下体积"。
累次积分是标准算法：先对 y 积再对 x 积，矩形区域上两者可交换。
中点法数值求积：每个小格取中心点函数值乘格面积。
解析值可对照的函数：xy、x²+y²、sin x·cos y 与常数 1。
非矩形区域需先描述边界，再化为累次积分或用极坐标。
∬_R f(x, y) dA ≈ ΣΣ f(x̄ᵢ, ȳⱼ)·Δx·Δy
中点法对光滑函数误差为 O(1/N²)，48×48 网格通常已很精确。
如何使用二重积分计算器
- 1
选择被积函数（四个预设）。
- 2
输入区域 [a, b] × [c, d] 的四个端点。
- 3
结果给出 48×48 中点法数值、解析值与误差。
- 4
扩大区域或换函数，观察误差如何保持在小量级。
计算示例
例 1单位圆上的 x²+y²
[0,1]×[0,1] 上 ∬(x²+y²) = 1/3 + 1/3 = 2/3，数值积分与解析值误差在 1e−5 以下。
例 2正弦交叉
[0,π]×[0,π] 上 ∬sin x·cos y = 2·0 = 0：正负抵消，几何上是上下对称的体积。
注意事项
中点法要求函数在区域内有界；奇点需先挖去或换元。
48×48 = 2304 次函数求值，精度与代价的平衡点。
区域非矩形时不能用本工具的直接网格。
极坐标区域换元后面积元多一个因子 r（见雅可比行列式）。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-12
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Calcton. 二重积分计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/double-integral, 2026-09-12.
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最后更新：2026-09-12。
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