雅可比行列式（坐标变换缩放因子）计算器
雅可比行列式度量坐标变换的局部缩放：|J| = 2 表示小面积被放大 2 倍，J < 0 表示发生了镜像。输入矩阵系数，看行列式、缩放因子与方向。
什么是雅可比行列式计算器？
雅可比行列式是线性化变换对面积的缩放比例。
det J = ad − bc（对 2×2 矩阵 [[a, b],[c, d]]）。
det J = 0：变换退化，把平面压成线或点，信息丢失不可逆。
det J < 0：变换包含镜像翻转，定向反转。
极坐标是最著名例子：x = r·cosθ, y = r·sinθ 的 J = r，面积元 dA = r·dr·dθ。
J = ∂(x, y)/∂(u, v) = det [[∂x/∂u, ∂x/∂v], [∂y/∂u, ∂y/∂v]]
换元积分时 dA = |J|·du·dv；|J| 就是局部面积放大倍数。
如何使用雅可比行列式计算器
- 1
输入 2×2 矩阵的四个系数 a, b, c, d（逗号分隔）。
- 2
输入极坐标示例半径 r。
- 3
结果给出行列式、面积缩放因子、可逆性与方向。
- 4
对比极坐标行理解"为什么极坐标面积元多一个 r"。
计算示例
例 1纯缩放
矩阵 2·I（a = d = 2，b = c = 0）：det = 4，面积放大 4 倍——边长放大 2 倍面积放大平方。
例 2镜像
矩阵 [[1, 0],[0, −1]]（上下翻转）：det = −1，面积不变但方向反转。
注意事项
非线性变换的雅可比逐点变化：极坐标的 J = r 随 r 增大。
积分换元时必须取绝对值 |J|，否则可能得到负体积。
三元变换是 3×3 行列式，球坐标的 |J| = ρ²sinφ。
雅可比矩阵本身是偏导数矩阵，行列式只是它的一个标量摘要。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-12
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最后更新：2026-09-12。
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