两平面交线计算器
输入两个平面的一般式方程，计算器用叉积求交线方向向量，再解出直线上一点，给出参数式与对称式两种交线方程，并自动判定平行/重合的特殊情形。
平面 1：ax + by + cz = d
平面 2：ax + by + cz = d
什么是两平面交线计算器？
两个不平行平面的公共点集是一条直线。这条直线的方向向量同时垂直于两个法向量，因此方向 v = n₁×n₂。
求直线上一点的方法：在三个坐标中令一个为 0（选使剩下两个方程可解的坐标），解 2×2 线性方程组得到另外两个坐标。
对称式 (x−x₀)/vₓ = (y−y₀)/v_y = (z−z₀)/v_z 与参数式 x = x₀+vₓt 等价，分量带 0 时该项写 y = y₀ 直接约束。
方向 v = n₁×n₂；交线：r(t) = P₀ + t·v
若 v = n₁×n₂ = 0，两平面平行；再比较方程系数是否成比例且常数项也成同一比例，成比例即重合，否则平行无交线。
如何使用两平面交线计算器
- 1
输入两平面的系数 a₁, b₁, c₁, d₁ 与 a₂, b₂, c₂, d₂（一般式 ax+by+cz=d）。
- 2
计算器先算叉积 n₁×n₂ 判定位置关系。
- 3
相交时自动选一个可解的坐标轴截面求出直线上一点 P₀。
- 4
输出参数式与对称式方程，附方向向量的简化结果。
计算示例
例 1例：经典相交
x+y+z = 6 与 x−y+z = 2：n₁×n₂ = (2, 0, −2)，简化方向 (1, 0, −1)。令 z = 0 得 x+y = 6、x−y = 2，解得 x = 4、y = 2，交线为 (4, 2, 0) + t(1, 0, −1)。
例 2例：平行判定
x+2y+3z = 1 与 2x+4y+6z = 5：法向量成比例 (1,2,3)∥(2,4,6)，叉积为零向量；常数项比例 1/2 ≠ 5/2，两平面平行且不重合，无交线。
注意事项
令坐标为 0 时可能遇到 2×2 系数行列式为零（如两平面都平行于该轴），计算器会自动换一个坐标轴再试。
方向向量按比例缩放都正确：(1,0,−1) 与 (2,0,−2) 描述同一条直线。
验证方法：把 P₀ 代回两个平面方程都应成立，方向向量与两个法向量的点积都应为 0。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-04
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 两平面交线计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/line-of-intersection-of-two-planes, 2026-09-04.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-04。
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