卢卡斯-莱默测试计算器

Q: 卢卡斯-莱默测试用什么公式计算？

s₀ = 4；sᵢ = sᵢ₋₁² − 2 (mod Mₚ)；Mₚ 素 ⟺ s(p−2) ≡ 0 (mod Mₚ)。 卢卡斯 1878 年提出、莱默 1930 年代完善；GIMPS 用它保持着所有最大已知素数的纪录。 在卢卡斯-莱默测试计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

Q: 卢卡斯-莱默测试的操作步骤是什么？

首先，输入奇素数 p（3 ≤ p ≤ 31），点击计算。 然后，工具展示 Mₚ、序列前若干项、终值与判定； 全程在页面内完成，结果即时更新。

什么是卢卡斯-莱默测试计算器？

卢卡斯-莱默测试是专门针对梅森数 2^p−1 的确定性素性测试：迭代 s → s²−2（模 Mₚ）p−2 次，终点为 0 当且仅当 Mₚ 是素数。它把「指数级候选」的检验压缩到 p 次乘法，配合 Mₚ 的二进制特殊性（FFT 卷积高效）使 GIMPS 能检验上千万位的候选。

s₀ = 4；sᵢ = sᵢ₋₁² − 2 (mod Mₚ)；Mₚ 素 ⟺ s(p−2) ≡ 0 (mod Mₚ)

卢卡斯 1878 年提出、莱默 1930 年代完善；GIMPS 用它保持着所有最大已知素数的纪录。

如何使用卢卡斯-莱默测试计算器

1
输入奇素数 p（3 ≤ p ≤ 31），点击计算。
2
工具展示 Mₚ、序列前若干项、终值与判定；
3
若为素数，附对应偶完全数 2^(p−1)·Mₚ。

计算示例

例 1M₇ = 127 是素数

p = 7：序列 4 → 14 → 67 → 42 → 111 → 0，终值 0，M₇ = 127 为素数；对应完全数 8128。

例 2M₁₁ = 2047 是合数

p = 11：序列终点非 0，2047 = 23 × 89——指数是素数不代表 Mₚ 是素数。

注意事项

p 必须是素数：p 合数时 Mₚ 必为合数（Mₐb 被 Mₐ 整除）。
s² 可达 (2³¹)² ≈ 4.6×10¹⁸，超出 Number 安全整数，工具全程 BigInt。
GIMPS 1996 年至今发现 17 个梅森素数；最新纪录超过 4000 万位。

常见问题

s₀ = 4；sᵢ = sᵢ₋₁² − 2 (mod Mₚ)；Mₚ 素 ⟺ s(p−2) ≡ 0 (mod Mₚ)。卢卡斯 1878 年提出、莱默 1930 年代完善；GIMPS 用它保持着所有最大已知素数的纪录。在卢卡斯-莱默测试计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

p 必须是素数：p 合数时 Mₚ 必为合数（Mₐb 被 Mₐ 整除）；s² 可达 (2³¹)² ≈ 4.6×10¹⁸，超出 Number 安全整数，工具全程 BigInt。其余细节见页面注意事项一节。

M₇ = 127 是素数：p = 7：序列 4 → 14 → 67 → 42 → 111 → 0，终值 0，M₇ = 127 为素数；对应完全数 8128。

首先，输入奇素数 p（3 ≤ p ≤ 31），点击计算。然后，工具展示 Mₚ、序列前若干项、终值与判定；全程在页面内完成，结果即时更新。

卢卡斯-莱默测试是专门针对梅森数 2^p−1 的确定性素性测试：迭代 s → s²−2（模 Mₚ）p−2 次，终点为 0 当且仅当 Mₚ 是素数。它把「指数级候选」的检验压缩到 p 次乘法，配合 Mₚ 的二进制特殊性（FFT 卷积高效）使 GIMPS 能检验上千万位的候选。

两者同属相关计算链条：梅森数解决的是与之衔接的另一层问题。完成卢卡斯-莱默测试计算后，页面底部相关推荐区可直接跳转到梅森数计算器继续演算，参数在同类工具间口径一致，交叉验证更方便。

M₁₁ = 2047 是合数：p = 11：序列终点非 0，2047 = 23 × 89——指数是素数不代表 Mₚ 是素数。

输入奇素数 p（3 ≤ p ≤ 31）。超出合理范围的输入可能导致结果无实际意义，页面注意事项一节标明了边界条件与单位口径。

本页卢卡斯-莱默测试计算器与页面内的公式、示例、对照表同源，全部数字由同一套程序实时计算。可用一个已知算例代入验证：先在示例一节找到演算过程，再用相同参数在计算器中复算一遍，两次结果一致即说明口径无误。

计算过程按双精度浮点执行，结果默认保留 4 位有效小数，页面会按数值大小自动切换科学计数法。对照表中的数值与计算器输出完全同源，不存在手工四舍五入引入的偏差。

Mₚ = 2^p−1 的模约减只需移位与加法（2^p ≡ 1），平方运算极快；通用测试（如 ECPP）对这种规模要慢数千倍。

欧拉证明：偶完全数与梅森素数一一对应——2^(p−1)(2^p−1) 完全当且仅当 Mₚ 素。奇完全数是否存在仍是悬案。

参考资料

凯文内容作者Calcton 数学编辑组口径审核Calcton 编辑组交叉审核· 内容更新于 2026-09-16

负责 Calcton 的公式核对与内容撰写：每个工具的公式都注明出处，示例数字经过程序复算，健康与判定标准一律采用国际口径。

Calcton 数学编辑组：标准教科书（高中至大学低年级）与常用数学手册的公式口径。

参考来源与更新说明

本页公式与判定标准参考以下权威资料：

最后更新：2026-09-16。

免责声明：本页面提供的计算结果与说明内容仅供参考，不构成医疗、税务、投资或法律等专业建议。尽管我们力求公式与数据准确，仍可能存在误差；据此做出的任何决策，请结合专业机构意见。

卢卡斯-莱默素性测试（Mersenne）

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如何使用卢卡斯-莱默测试计算器

计算示例

注意事项

常见问题

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什么是卢卡斯-莱默测试计算器？

如何使用卢卡斯-莱默测试计算器

计算示例

注意事项

常见问题

卢卡斯-莱默测试用什么公式计算？

使用卢卡斯-莱默测试有哪些注意事项？

能举个例子说明卢卡斯-莱默测试吗？

卢卡斯-莱默测试的操作步骤是什么？

卢卡斯-莱默测试适合用在什么场景？

卢卡斯-莱默测试和梅森数有什么区别？

卢卡斯-莱默测试还有别的算例吗？

卢卡斯-莱默测试支持输入哪些数值？

怎么确认卢卡斯-莱默测试的结果是准确的？

卢卡斯-莱默测试的结果保留多少位？

为什么梅森数有专属测试？

梅森素数与完全数的关系？

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