麦克劳林级数计算器

原理：麦克劳林级数是泰勒级数在 x = 0 处的展开：f(x) = ∑f⁽ᵏ⁾(0)xᵏ/k!。常用函数的展开为 e^x = ∑xᵏ/k!、sin x = ∑(−1)ᵏx²ᵏ⁺¹/(2k+1)!、cos x = ∑(−1)ᵏx²ᵏ/(2k)!、ln(1+x) = ∑(−1)ᵏ⁺¹xᵏ/k、arctan x = ∑(−1)ᵏx²ᵏ⁺¹/(2k+1)、sinh/cosh 与 e^x 同构、1/(1−x) = ∑xᵏ。

步骤：下拉框选择函数；输入求值点 x（注意收敛域：ln(1+x) 与 1/(1−x) 要求 |x| < 1，arctan 全域收敛但 x 大时慢）；输入截断项数；对照真值观察误差随 N 的衰减。

示例：e^x 在 x = 1、N = 10 时部分和 = 2.718281801146，真值 e = 2.718281828459；ln(1+x) 在 x = 0.5、N = 20 时误差约 1.537399e-8；arctan x 取 x = 1 即 Gregory 级数 π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − ⋯ 的来源。

注意事项：截断误差由第一个被舍弃的项主导——e^x、sin、cos 的阶乘分母让误差骤减，而 ln(1+x) 与 arctan 只有幂律分母，收敛慢得多；x 超出收敛域时部分和剧烈发散；sinh/cosh 系数全正，永远收敛；N 很大且 |x| 较大时 x^N 可能溢出，建议 |x| 控制在个位数。

相关：泰勒级数工具支持任意展开点与任意阶导数；二项级数工具是 (1+x)^α 的专属展开；指数函数工具给出 e^x 的完整性质；导数工具是系数 f⁽ᵏ⁾(0) 的来源。